第六章保形变换

重点：分式线性映射的性质与应用、初等函数的保形映射

难点：确定唯一分式线性映射的条件、典型区域的映射

6.1 保形映射的概念¶

解析函数导数的几何意义¶

设 \(w = f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，\(z_0 \in D\) 且 \(f'(z_0) \neq 0\)。考虑 \(z_0\) 处的有向曲线 \(C: z = z(t)\)，映射后得到曲线 \(\Gamma: w = f(z(t))\)。

1. 转动角（旋转角）¶

定义 1（转动角）：映射在 \(z_0\) 处的 转动角 为 \(\text{Arg } f'(z_0)\)，它表示映射将 \(z_0\) 处的切向量旋转的角度。

2. 保角性¶

定理 1（保角性）

若 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 解析且 \(f'(z_0) \neq 0\)，则映射在 \(z_0\) 处具有 保角性 ：

通过 \(z_0\) 的任意两条曲线之间的夹角（大小和方向）在映射前后 保持不变 。

保角性示意

3. 伸缩率¶

定义 2（伸缩率）：映射在 \(z_0\) 处的伸缩率为 \(|f'(z_0)|\)，它表示映射在 \(z_0\) 处对长度的伸缩倍数：

\(|f'(z_0)| > 1\)：伸长
\(|f'(z_0)| < 1\)：缩短
\(|f'(z_0)| = 1\)：不变

重要性质

伸缩率与曲线方向无关，只与点 \(z_0\) 有关。

例 1：求 \(w = z^3\) 在 \(z = 0\) 和 \(z = i\) 处的导数值及几何意义

解：\(w' = 3z^2\)

在 \(z = 0\)：\(w'(0) = 0\)，导数为零，映射在 \(z=0\) 处不保角（伸缩率为零，原点附近的角被"压缩"）
在 \(z = i\)：\(w'(i) = 3i^2 = -3\)
伸缩率：\(|w'(i)| = 3\)（伸长到 3 倍）
转动角：\(\text{Arg }(-3) = \pi\)（旋转 \(180^\circ\)）

定理 2（保形映射的判定）

若 \(w = f(z)\) 在 \(z_0\) 解析且 \(f'(z_0) \neq 0\)，则映射在 \(z_0\) 是保形的。

若解析函数在区域 \(D\) 内 一一对应 且处处 \(f'(z) \neq 0\)，则是 \(D\) 内的 保形映射 。

保形映射的定义¶

局部性质 vs 整体性质

在复变函数中，"第一类保角"与"保形变换"这两个术语有微妙但重要的区别：

第一类保角：这是一种局部性质。若 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 解析且 \(f'(z_0) \neq 0\)，则映射在 \(z_0\) 处是第一类保角的。只要导数不为零，局部角度保持不变，但映射不一定是单叶的。
保形变换：除了要求局部保角外，还要求 整体单叶性（一一对应）。即：区域内不同的点 \(z_1 \neq z_2\) 必须满足 \(w_1 \neq w_2\)。

关系：保形变换 = 第一类保角 + 单叶性

例：指数函数 \(w = e^z\) 的两类性质

在 \(0 < \text{Im}(z) < 4\pi\) 内：\(w' = e^z \neq 0\)，每一点都局部保角（第一类保角），但由于周期 \(2\pi i\)，点 \(z\) 与 \(z+2\pi i\) 映射到同一点，不是单叶的，所以不是保形变换。
在 \(0 < \text{Im}(z) < 2\pi\) 内：既局部保角，又是单叶的，是保形变换。

定义 3（第一类保角映射）：若 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 解析且 \(f'(z_0) \neq 0\)，则映射在 \(z_0\) 处是 第一类保角 的：保持曲线间夹角的大小和方向不变。

定义 4（第二类保角映射）：伸缩率不变，但角度绝对值保持不变、旋转方向相反的映射称为 第二类保角映射（如 \(w = \bar{z}\)，共轭映射）。

定义 5（保形变换）：在区域 \(D\) 内 处处解析、处处保角 且 整体单叶（一一对应） 的映射称为 \(D\) 内的 保形变换。

几何意义

保形映射将 \(z_0\) 附近的小三角形映射为近似相似的三角形，将 \(|z - z_0| = \delta\) 的小圆周近似映射为 \(|w - w_0| = |f'(z_0)|\delta\) 的圆周。

6.2 分式线性映射¶

定义与分解¶

定义 6（分式线性映射）：分式线性映射（又称莫比乌斯变换）的标准形式为

\[ w = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \neq 0 \]

其中 \(a, b, c, d\) 为复常数，且满足 \(ad - bc \neq 0\)（保证映射非退化）。

三种基本映射的分解

分式线性映射可分解为三种基本映射的复合：平移 \(w = z + b\)、旋转与伸缩 \(w = az\)（\(a = \lambda e^{i\alpha}\)）、反演 \(w = \frac{1}{z}\)。任意分式线性映射都可表示为这三种基本映射的复合。

几何性质¶

1. 保角性¶

定理 7（分式线性映射的保角性）：分式线性映射在扩充复平面上是 一一对应 的，且具有 保角性。在 \(z = -\frac{d}{c}\) 处映射为 \(w = \infty\)，在 \(z = \infty\) 处映射为 \(w = \frac{a}{c}\)。

2. 保圆性¶

定理 8（保圆性）：分式线性映射将扩充 \(z\) 平面上的圆周映射成扩充 \(w\) 平面上的圆周（直线视为半径无穷大的圆）。

证明思路

平移 \(w = z + b\) 和旋转伸缩 \(w = az\) 显然保持圆周为圆周。

反演 \(w = \frac{1}{z}\)：圆周（或直线）方程 \(a(x^2+y^2) + bx + cy + d = 0\) 变为

\[ d(u^2+v^2) + bu - cv + a = 0 \]

仍是圆周（当 \(d = 0\) 时变为直线，\(a = 0\) 时直线变圆周）。

3. 保对称点性¶

定义 7（关于圆周的对称点）：设 \(C\) 为圆周（或直线），点 \(z_1, z_2\) 称为关于 \(C\) 对称的，如果过 \(z_1, z_2\) 的任何圆周（或直线）都与 \(C\) 正交。对于圆心为 \(a\)、半径为 \(R\) 的圆周，对称点满足 \(|z_1 - a| \cdot |z_2 - a| = R^2\)，且 \(z_1, z_2\) 在同一射线上（从圆心出发）。

定理 9（保对称点性）：分式线性映射保持对称点不变：若 \(z_1, z_2\) 关于圆周 \(C\) 对称，则映射后 \(w_1, w_2\) 关于 \(C\) 的像对称。

6.3 唯一决定分式线性映射的条件¶

三对对应点确定唯一映射¶

定理 10（唯一性定理）

给定 \(z\) 平面上三个相异点 \(z_1, z_2, z_3\) 和 \(w\) 平面上三个相异点 \(w_1, w_2, w_3\)，存在唯一的分式线性映射将 \(z_k\) 依次映射成 \(w_k\)（\(k = 1, 2, 3\)）。

该映射由下式确定：

\[ \frac{w - w_1}{w - w_2} : \frac{w_3 - w_1}{w_3 - w_2} = \frac{z - z_1}{z - z_2} : \frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2} \]

或写成 交比形式 ：

\[ (w, w_1; w_2, w_3) = (z, z_1; z_2, z_3) \]

例 2：求将 \(z = -1, 0, 1\) 映射为 \(w = 1, i, -1\) 的分式线性映射

解：用三对对应点公式：

\[ \frac{w - 1}{w - i} : \frac{-1 - 1}{-1 - i} = \frac{z + 1}{z} : \frac{1 + 1}{1} \]

化简：

\[ \frac{w - 1}{w - i} \cdot \frac{-1 - i}{-2} = \frac{z + 1}{z} \cdot \frac{1}{2} \]

解得：

\[ w = \frac{(1+i)z + (1-i)}{(1-i)z + (1+i)} = \frac{z - i}{-iz + 1} \]

区域映射判定规则¶

圆周区域映射判定规则：设分式线性映射将圆周 \(C\) 映射为圆周 \(\Gamma\)，则：

绕向相同 \(\Rightarrow\) \(C\) 的内部映射为 \(\Gamma\) 的内部
绕向相反 \(\Rightarrow\) \(C\) 的内部映射为 \(\Gamma\) 的外部

三种区域映射情形：

情形	结果
二圆周上没有点映射成 \(\infty\)	映射为二圆弧所围区域
有一个点映射成 \(\infty\)	映射为一圆弧与一直线所围区域
交点之一映射成 \(\infty\)	映射为角形区域

典型映射：上半平面 ↔ 单位圆¶

公式 1：上半平面映射为单位圆：将上半平面 \(\text{Im}(z) > 0\) 映射为单位圆 \(|w| < 1\) 的分式线性映射为

\[ w = e^{i\theta} \frac{z - \lambda}{z - \bar{\lambda}} \]

其中 \(\text{Im}(\lambda) > 0\)（上半平面内任意点），\(\theta\) 为实参数。若要求 \(w(\lambda) = 0\)，则 \(\lambda\) 为上半平面内映射到原点的点。

例 3：将上半平面 \(\text{Im}(z) > 0\) 映射为单位圆 \(|w| < 1\)，且满足 \(w(2i) = 0\)，\(\arg w'(2i) = 0\)

解：取 \(\lambda = 2i\)（映射到原点），\(\bar{\lambda} = -2i\)

\[ w = e^{i\theta} \frac{z - 2i}{z + 2i} \]

计算导数：

\[ w'(z) = e^{i\theta} \frac{4i}{(z + 2i)^2} \]

在 \(z = 2i\) 处：

\[ w'(2i) = e^{i\theta} \frac{4i}{(4i)^2} = e^{i\theta} \frac{1}{4i} = \frac{1}{4}e^{i(\theta - \frac{\pi}{2})} \]

由 \(\arg w'(2i) = 0\)，得 \(\theta = \frac{\pi}{2}\)，故 \(e^{i\theta} = i\)

\[ w = i \cdot \frac{z - 2i}{z + 2i} = \frac{iz + 2}{z + 2i} \]

典型映射：单位圆 ↔ 单位圆¶

公式 2：单位圆映射为单位圆：将单位圆 \(|z| < 1\) 映射为单位圆 \(|w| < 1\) 的分式线性映射为

\[ w = e^{i\phi} \frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha}z} \]

其中 \(|\alpha| < 1\)（单位圆内任意点），\(\phi\) 为实参数。若要求 \(w(\alpha) = 0\)，则 \(\alpha\) 为单位圆内映射到原点的点。

例 4：将 \(|z| < 1\) 映射为 \(|w| < 1\)，满足 \(w(\frac{1}{2}) = 0\)，\(w'(\frac{1}{2}) > 0\)

解：取 \(\alpha = \frac{1}{2}\)，\(\bar{\alpha} = \frac{1}{2}\)

\[ w = e^{i\phi} \frac{z - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}z} = e^{i\phi} \frac{2z - 1}{2 - z} \]

计算导数：

\[ w'(z) = e^{i\phi} \frac{3}{(2-z)^2} \]

在 \(z = \frac{1}{2}\) 处：

\[ w'\left(\frac{1}{2}\right) = e^{i\phi} \cdot \frac{4}{3} \]

由 \(w'(\frac{1}{2}) > 0\)（为正实数），得 \(\phi = 0\)

\[ w = \frac{2z - 1}{2 - z} \]

Schwarz 引理（补充）

若 \(f(z)\) 在单位圆 \(|z| < 1\) 内解析，满足 \(f(0) = 0\) 且 \(|f(z)| < 1\)，则：

\(|f(z)| \leq |z|\)（模收缩）
\(|f'(0)| \leq 1\)
若 \(|f'(0)| = 1\)，则 \(f(z) = e^{i\theta}z\)（纯旋转变换）

应用：由 Schwarz 引理可推导单位圆到单位圆的分式线性映射必具有 \(w = e^{i\phi}\frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}\) 的形式。

6.4 几个初等函数所构成的映射¶

幂函数 \(w = z^n\)（\(n \geq 2\)）¶

幂函数的映射性质：导数 \(w' = nz^{n-1}\)，当 \(z \neq 0\) 时 \(w' \neq 0\)，映射保形。

特点：

将圆周映射为圆周
将射线（从原点出发）映射为射线
角形域的张角变为原来的 \(n\) 倍

特别地，将以原点为顶点的角形域 \(0 < \arg z < \frac{2\pi}{n}\) 映射为沿正实轴剪开的 \(w\) 平面 \(0 < \arg w < 2\pi\)。

例 5：求将角形域 \(0 < \arg z < \frac{\pi}{4}\) 映射为单位圆 \(|w| < 1\) 的映射

解：分两步：

步骤 1：用幂函数将角形域张开为半平面

令 \(\zeta = z^4\)，将 \(0 < \arg z < \frac{\pi}{4}\) 映射为 \(0 < \arg \zeta < \pi\)（上半平面）

步骤 2：用分式线性映射将上半平面映射为单位圆

\[ w = \frac{\zeta - i}{\zeta + i} = \frac{z^4 - i}{z^4 + i} \]

指数函数 \(w = e^z\)¶

指数函数的映射性质：导数 \(w' = e^z \neq 0\)，在全平面保形。设 \(z = x + iy\)，则 \(w = e^z = e^x e^{iy} = \rho e^{i\phi}\)，其中 \(\rho = e^x\)（由 \(x\) 决定），\(\phi = y\)（由 \(y\) 决定）。

特点：

水平线 \(y = c\) 映射为射线 \(\arg w = c\)
垂直线 \(x = c\) 映射为圆周 \(|w| = e^c\)
将水平带形域 \(0 < \text{Im}(z) < a\)（\(a \leq 2\pi\)）映射为角形域 \(0 < \arg w < a\)

特别地，带形域 \(0 < \text{Im}(z) < \pi\) 映射为上半平面 \(\text{Im}(w) > 0\)，带形域 \(0 < \text{Im}(z) < 2\pi\) 映射为沿正实轴剪开的 \(w\) 平面。

例 6：将带形域 \(0 < \text{Im}(z) < \pi\) 映射为单位圆 \(|w| < 1\)

解：分两步：

步骤 1：用指数函数将带形域映射为半平面

令 \(\zeta = e^z\)，将 \(0 < \text{Im}(z) < \pi\) 映射为上半平面 \(\text{Im}(\zeta) > 0\)

步骤 2：用分式线性映射将上半平面映射为单位圆

\[ w = \frac{\zeta - i}{\zeta + i} = \frac{e^z - i}{e^z + i} \]

例 7：将带形域 \(a < \text{Re}(z) < b\) 映射为上半平面

解：分两步：

步骤 1：平移和伸缩将带形域标准化

令 \(\zeta = \frac{\pi}{b-a}(z - a)\)，将 \(a < \text{Re}(z) < b\) 映射为 \(0 < \text{Re}(\zeta) < \pi\)

再令 \(\eta = i\zeta\)，将 \(0 < \text{Re}(\zeta) < \pi\) 映射为 \(0 < \text{Im}(\eta) < \pi\)

步骤 2：用指数函数映射为上半平面

\[ w = e^{\eta} = e^{i\zeta} = e^{i\frac{\pi(z-a)}{b-a}} \]

小结¶

核心概念¶

核心概念速查

转动角：\(\text{Arg } f'(z_0)\)，表示切向量旋转的角度。
伸缩率：\(|f'(z_0)|\)，表示长度伸缩的倍数。
第一类保角：\(f'(z_0) \neq 0\)，夹角大小和方向保持不变，是局部性质。
保形变换：第一类保角 + 单叶性（一一对应），表示局部保角且整体单叶。

分式线性映射¶

分式线性映射速查

标准形式：\(w = \dfrac{az+b}{cz+d}\)，其中 \(ad-bc \neq 0\)。
分解方式：平移 + 旋转伸缩 + 反演。
保角性：在扩充复平面上一一对应且保角。
保圆性：圆周映射为圆周（把直线看作过无穷远点的圆）。
保对称点性：对称点映射后仍为对称点。
唯一性条件：三对对应点可唯一确定一个分式线性映射。

典型映射公式¶

典型映射公式速查

上半平面 \(\to\) 单位圆：\(w = e^{i\theta}\dfrac{z-\lambda}{z-\bar{\lambda}}\)，条件是 \(\text{Im}(\lambda) > 0\)。
单位圆 \(\to\) 单位圆：\(w = e^{i\phi}\dfrac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}\)，条件是 \(|\alpha| < 1\)。
幂函数映射：\(w = z^n\)，会把角形域张角放大到原来的 \(n\) 倍。
指数函数映射：\(w = e^z\)，常把带形域映到角形域或去心平面。

区域映射策略¶

区域映射策略

复习时优先按下面的路径想：

复杂区域 \(\to\) 基本映射 \(\to\) 标准区域
角形域：优先考虑 \(w = z^n\)
带形域：优先考虑 \(w = e^z\)
一般圆弧边界区域：优先考虑分式线性映射

记忆口诀

第一类保角：局部保角（\(f'(z) \neq 0\)），不管是否单叶
保形变换：第一类保角 + 单叶性
分式线性四性质：保角、保圆、保对称点、一一对应
唯一性：三对对应点确定唯一分式线性映射
幂函数：角形域张角放大
指数函数：带形域变角形域（\(2\pi\) 周期内单叶）