第一章：初等积分法

\[ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \]

分离变量两边同时积分即可。

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{ax + by + c}{dx + ey + f} \]

\[ \frac{dy}{dx} = p(x)y + q(x) \]

\[ y = Ce^{\int p(x)dx} \]

\[ \frac{dy}{dx} = p(x)y + q(x)y^n \]

\[ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \]

为恰当方程：$\exists U(x, y)$ 使得： $$ dU(x,y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $$ 充要条件为： $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$

解法：令 $$ U(x,y) = \int M(x,y)dx + \varphi(y) $$ 再用 $$ \frac{\partial U(x,y)}{\partial y} = N(x,y) $$ 解出 $\varphi(y)$ 即可

$\mu(x,y)$ 为积分因子，如果 $$ \mu M(x,y)dx + \mu N(x,y)dy = 0 $$ 为恰当方程。

方程有只与 $x$ 有关的积分因子 $$ \frac{M_y - N_x}{N} = g(x) $$ 积分因子 $$ \mu(x) = e^{\int g(x)dx} $$
方程有只与 $y$ 有关的积分因子 $$ \frac{M_y - N_x}{-M} = g(y) $$ 积分因子 $$ \mu (x) = e^{\int g(x)dx} $$
性质：若 $\mu(x,y)$ 是 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的积分因子，则 $\mu(x,y)\Phi(U(x,y))$ 也是方程的积分因子。
用途：解 $$ (M_1dx + N_1dy) + (M_2dx + N_2dy) = 0 $$

$y = f(x, y^{'})$
令 $y^{'} = p$，两边同时对 $x$ 求导
$x = f(y, y^{'})$
令 $y^{'} = p$，两边同时对 $y$ 求导
$F(x, y^{'}) = 0$ 和 $F(y, y^{'}) = 0$
都是想办法用参数 $t$ 表示出 $x = \varphi(t), y^{'} = \phi(t)$ 或 $y = \varphi(t), y^{'} = \phi(t)$
- 常见的有线性替换 $y^{'} = tx$ 代入 $F(x, y^{'})$ 后解出 $x$ 等等
- 要注意观察
然后求出 $y$ 或 $x$ 对应的关于 $t$ 的积分表达式，得到参数解
有很多其他方程也有类似的解法（用参数表示），例如拉格朗日方程

例：

求 拉格朗日(Lagrange, 1736-1813)方程 $$ y = xf(y^{'}) + \varphi(y^{’}) $$ 的通解，其中 $f(p)$ 和 $\varphi(p$) 都是连续可微的函数。