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例 4.6：\(p\) 级数（实级数）的敛散性

讨论

\[ 1 + \frac{1}{2^{p}} + \frac{1}{3^{p}} + \frac{1}{4^{p}} + \dots + \frac{1}{n^{p}} + \dots \]

即 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\) 的收敛性。

  • 当 \(p > 1\) 时，级数 收敛
  • 当 \(p \le 1\) 时，级数 发散（\(p = 1\) 时为调和级数）

例 4.8

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{2^{n}} + \frac{i}{n} \right) \]

敛散性 ：实部 \(\sum 2^{-n}\) 收敛，虚部 \(\sum \dfrac{i}{n}\) 对应调和级数， 发散 ，故整个复级数 发散 （复级数收敛当且仅当实部、虚部两个实级数都收敛）。

幂级数与收敛半径

定理 ：设实幂级数

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| x^{n} \]

中 \(x\) 为实数。若该幂级数的收敛半径为 \(R\)（\(0 \le R \le +\infty\)），则有：

  1. 若 \(0 < R < +\infty\)，则级数
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} (z - a)^{n} \]

在圆盘 \(D: |z - a| < R\) 内 绝对收敛

  1. 若 \(R = +\infty\)，则
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}(z-a)^{n} \]

在 全平面 收敛

  1. 若 \(R = 0\)，则只在 \(z = a\) 处收敛

说明 ：收敛半径 \(R\) 由系数决定。常用 Cauchy–Hadamard 公式 ：\(\dfrac{1}{R} = \displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\)（约定 \(0\) 与 \(+\infty\) 互为倒数）；对系数非负的幂级数，也可用 比值法 ：若 \(\lim |a_{n+1}/a_n|\) 存在，则其倒数为 \(R\)。

收敛半径的含义

幂级数 \(\sum a_n z^n\)（把实变量 \(x\) 看成复平面上的 \(z\)）的 收敛半径 \(R\) ，是以展开中心为圆心、使级数在圆盘 \(|z| < R\) 内 处处绝对收敛 的 最大 半径。落在实轴上时，即开区间 \((-R,\,R)\) 内收敛的 最大 半轴长度：圆盘内点必绝对收敛；\(|z| > R\) 处必发散；圆周 \(|z| = R\)（实轴上 \(x = \pm R\)）在分界上，需 单独讨论 。若 \(R = 0\)，则一般只在中心点可能收敛；若 \(R = +\infty\)，则在整个复平面（实轴上整条 \(\mathbb{R}\)）内收敛。

相关概念

  • 级数收敛 ：\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)（\(c_n\) 可为复数） 收敛 ，指部分和 \(S_N = \sum_{n=1}^{N} c_n\) 当 \(N \to \infty\) 时存在 有限极限 。否则为 发散 。

  • 绝对收敛 ：若 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|\) 收敛，则称原级数 绝对收敛 。

  • 与收敛的关系 ：绝对收敛 \(\Rightarrow\) 收敛（反之不成立）。绝对收敛级数可 任意重排 ，和不变；仅条件收敛的实级数重排后甚至可以改变和或发散（ Riemann 定理 ）。

  • 条件收敛 ：级数收敛但非绝对收敛。例如 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}/n\) 收敛，而 \(\sum 1/n\) 发散。

  • 幂级数 ：在收敛圆盘 \(|z-a| < R\) 内，\(\sum a_n(z-a)^n\) 不仅收敛，而且 内闭一致绝对收敛 ，可逐项求导、逐项积分，和函数在盘内 解析 。

达朗贝尔判别法

对 正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n\)（\(u_n > 0\)），设

\[ \rho = \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \]

存在（或为 \(+\infty\)），则：

  • 若 \(0 \le \rho < 1\)，则级数 收敛
  • 若 \(\rho > 1\)（含 \(\rho = +\infty\)），则级数 发散
  • 若 \(\rho = 1\)，则 无法判定 ，需换用其他判别法

达朗贝尔判别法的证明（正项级数）

设 \(u_n > 0\)，\(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\)（有限或 \(+\infty\)）。

（1）\(0 \le \rho < 1\) 时收敛。 取 \(r\) 使 \(\rho < r < 1\)。由极限定义，存在 \(N\)，当 \(n \ge N\) 时有 \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < r\)，即 \(u_{n+1} < r\,u_n\)。递推得对 \(k \ge 1\)，

\[ u_{N+k} < r^k u_N. \]

于是 \(\sum_{n=N}^{\infty} u_n\) 的各项小于等比级数 \(u_N \sum_{k=0}^{\infty} r^k\) 的对应项，而后者收敛，故由 比较判别法 ，\(\sum u_n\) 收敛。

（2）\(1 < \rho \le +\infty\) 时发散。 若 \(1 < \rho < +\infty\)，取 \(r\) 使 \(1 < r < \rho\)，则存在 \(N\)，当 \(n \ge N\) 时有 \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > r\)，即 \(u_{n+1} > r\,u_n\)，故 \(u_{N+k} > r^k u_N\)。因 \(r^k \to +\infty\)，有 \(u_n \not\to 0\)，级数 发散 。若 \(\rho = +\infty\)，则对任意大的 \(M > 1\)，存在 \(N\) 使 \(n \ge N\) 时 \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > M\)，同样有 \(u_n \not\to 0\)，发散。

（3）\(\rho = 1\) 不在上述估计之内，故判别法 失效 ，与具体例子见下。

对一般项（含复项）级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)，若

\[ \rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \]

存在（或为 \(+\infty\)），令 \(u_n = |c_n|\) 即化归上面的 正项级数 ，故对 绝对收敛 性有同样结论：\(\rho < 1\) 时 \(\sum |c_n|\) 收敛，原级数 绝对收敛 ；\(\rho > 1\) 时 \(|c_n| \not\to 0\)，原级数 发散 ；\(\rho = 1\) 时失效。

ρ = 1 时失效

例如 \(\sum 1/n^2\) 与 \(\sum 1/n\) 均有 \(\rho = 1\)，前者收敛后者发散，故比值极限为 \(1\) 时必须另作讨论。

后文幂级数 比值法 求收敛半径，即把 \(\sum a_n x^n\) 看成 \(\sum c_n\)（\(c_n = a_n x^n\)），对固定的 \(x\) 用上述极限判断 绝对收敛 ，再让 \(|x|\) 变化得到 \(R\)。

实幂级数收敛半径的求法

对于 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)，收敛半径 \(R\) 可用下列方法。

方法一：比值法（达朗贝尔判别法）

设 \(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) 存在（或为 \(+\infty\)），则

\[ R = \frac{1}{\rho} = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \]

比值法与收敛半径

对幂级数 \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)，固定 \(x\)，对正项级数 \(\sum |a_n x^n|\) 用 达朗贝尔判别法 。相邻两项之比的极限为

\[ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| = |x| \cdot \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x| \,\rho. \]

故当 \(0 < \rho < +\infty\) 时：若 \(|x| \rho < 1\) 则 绝对收敛 ；若 \(|x| \rho > 1\) 则通项不趋于 \(0\)， 发散 。使级数收敛的 \(|x|\) 的上确界为 \(1/\rho\)，即 收敛半径 \(R = 1/\rho\)。又当上述极限存在时，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \frac{1}{\rho}\)，故也可写 \(R = \lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)。

若 \(\rho = 0\)，则对任意 \(x\) 比值极限为 \(0 < 1\)，处处绝对收敛，故 \(R = +\infty\)。若 \(\rho = +\infty\)，则 \(x \neq 0\) 时比值极限为 \(+\infty > 1\)，只在 \(x = 0\) 收敛，故 \(R = 0\)。

规定：

  • 若 \(\rho = 0\)，则 \(R = +\infty\)
  • 若 \(\rho = +\infty\)，则 \(R = 0\)

适用 ：系数含阶乘、指数、分式时，如 \(\sum \dfrac{x^n}{n!}\)、\(\sum n x^n\)。

方法二：根值法（Cauchy–Hadamard）

设 \(\displaystyle\rho = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\)，则 \(R = \dfrac{1}{\rho}\)，同样：\(\rho = 0 \Rightarrow R = +\infty\)；\(\rho = +\infty \Rightarrow R = 0\)。

适用 ：比值极限不存在时（如系数含 \((-1)^n\) 或周期变化），根值法更稳。

方法三：比较（与已知半径的级数对比）

  • 若 \(|a_n| \sim |b_n|\)（等价），则两级数收敛半径相同
  • 若 \(|a_n| \le |b_n|\) 且 \(\sum b_n x^n\) 的收敛半径为 \(R\)，则待求级数收敛半径 \(\ge R\)

计算步骤小结

  1. 写出通项系数 \(a_n\)
  2. 选法：阶乘/指数优先 比值 ；振荡系数用 根值
  3. 算 \(\rho\) 或 \(\limsup \sqrt[n]{|a_n|}\)
  4. 取倒数得 \(R\)，注意 \(0\) 与 \(+\infty\) 的约定
  5. 端点 \(x = \pm R\) 须单独判断（收敛半径只保证开区间 \((-R, R)\) 内）

示例

求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}\) 的收敛半径与收敛域。

  • 比值法：\(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1\)，故 \(R = 1\)
  • 端点：\(x = 1\) 为调和级数， 发散 ；\(x = -1\) 为交错级数， 收敛
  • 收敛域 ：\([-1,\, 1)\)