重点 ：留数的计算与留数定理

难点 ：理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系

5.1 留数定理¶

（一）留数引入¶

设 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 在区域内的 孤立奇点，\(f(z)\) 在 \(z_0\) 的去心邻域 \(0 < |z - z_0| < R\) 内的洛朗展开式为：

定义 1（留数）：洛朗级数中 \((z - z_0)^{-1}\) 项的系数 \(a_{-1}\) 称为 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处的 留数（Residue），记为

由洛朗系数公式：

其中 \(l\) 为绕 \(z_0\) 的任意正向简单闭曲线。

（二）留数定理¶

（三）留数的计算方法¶

规则 1：一级极点的留数¶

规则 1（一级极点）：若 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 的 一级极点，则

规则 2：m 级极点的留数¶

规则 2（m 级极点）：若 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 的 \(m\) 级极点，则

规则 3：\(P(z)/Q(z)\) 形式的一级极点¶

规则 3（分式形式）：设 \(f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}\)，若 \(P(z_0) \neq 0\)，\(Q(z_0) = 0\)，\(Q'(z_0) \neq 0\)（即 \(z_0\) 为 \(Q(z)\) 的一级零点），则

（四）无穷远点的留数¶

定义 2（无穷远点的留数）：设 \(f(z)\) 在圆环域 \(R < |z| < +\infty\) 内解析，定义

其中 \(l: |z| = \rho > R\)（顺时针方向），\(a_{-1}\) 是 \(f(z)\) 在 \(\infty\) 的去心邻域洛朗展开中 \(z^{-1}\) 项的系数。

5.2 应用留数定理计算实变函数定积分¶

基本思路¶

核心思想：把实变函数定积分与复变函数的闭合围线积分联系起来。

方法步骤：

1. 将实积分区间视为复平面实轴上的线段
2. 添加辅助路径使构成封闭回路
3. 利用留数定理计算围道积分
4. 证明辅助路径上的积分趋于零（或可计算）

（一）\(\int_0^{2\pi} R(\cos x, \sin x) \, \mathrm{d}x\) 型积分¶

方法：单位圆换元法

特征：\(R(\cos x, \sin x)\) 是 \(\cos x\) 和 \(\sin x\) 的有理函数，在 \([0, 2\pi]\) 内连续。

换元：令 \(z = e^{ix}\)（单位圆周），则：

转化：沿 \([0, 2\pi]\) 的实积分变成沿单位圆 \(|z| = 1\) 的回路复积分：

（二）\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} \, \mathrm{d}x\) 型积分¶

方法：上半平面围道法

特征：

1. \(\varphi(x)\) 和 \(\psi(x)\) 为多项式，\(\psi(x)\) 在实轴上无零点（如果在实轴上有零点，则无法使用留数定理，因为积分路径会穿过奇点）
2. \(\psi(x)\) 的次数至少高于 \(\varphi(x)\) 两次
3. \(f(z) = \frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\) 在上半平面除有限个孤立奇点外解析
4. 当 \(z\) 在上半平面及实轴上趋于 \(\infty\) 时，\(zf(z)\) 一致地趋于零

围道：添加上半平面无穷大半圆周 \(C_R\)

结果：

即等于 \(2\pi i\) 乘以上半平面所有极点留数之和。

（三）\(\int_{-\infty}^{+\infty} F(x)e^{imx} \, \mathrm{d}x\) 型积分¶

方法：约当引理

定义：研究

其中 \(F(z)\) 在上半平面除有限个孤立奇点外解析，且实轴上无奇点。该型积分是傅里叶型积分的复变求解模板。

约当引理（本节使用形式）：若当 \(|z|\to\infty\) 且 \(z\) 位于上半平面及实轴时，\(F(z)\) 一致趋于 \(0\)，则

其中 \(C_R:\,z=Re^{i\varphi},\,0\le\varphi\le\pi\)。

由留数定理可得

令 \(R\to\infty\) 得

进一步分离实部与虚部：

推导：对 \(z=Re^{i\varphi}\)（\(0\le\varphi\le\pi\)），有

这里使用了 \(e^{imz}=e^{imR(\cos\varphi+i\sin\varphi)}=e^{imR\cos\varphi}e^{-mR\sin\varphi}\) 以及 \(|e^{imR\cos\varphi}|=1\)。接着利用对称性：

在 \([0,\pi/2]\) 上有几何不等式 \(\sin\varphi\ge \frac{2}{\pi}\varphi\)，故

从而 \(\displaystyle\int_0^\pi e^{-mR\sin\varphi}R\,\mathrm{d}\varphi \le \frac{\pi}{m}\left(1-e^{-mR}\right)\le \frac{\pi}{m}\)，因此

（四）实轴上有单极点的情况¶

方法：绕过实轴极点

1. 单极点定义补充：单极点 指且仅指 一级极点，不能是 \(2\) 阶或以上的极点，更不能是本性奇点。

2. 回路构造与留数定理应用：研究积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x\)，\(f(x)\) 在实轴上有某个单极点 \(z=a\)，且满足类型的条件（如无穷远处趋于 \(0\)）。

以 \(z=a\) 为圆心，以充分小的正数 \(\varepsilon\) 为半径作上半平面半圆弧 \(C_\varepsilon\) 绕过奇点 \(a\)，加上实轴段和上半平面大半圆弧 \(C_R\)，构成闭合回路 \(l\)。注意：\(C_\varepsilon\) 本身不是闭合曲线。

由留数定理：

取极限 \(R \to \infty, \varepsilon \to 0\)：

• 左边 \(= 2\pi i \sum_{\text{上半平面}} \text{Res } f(z)\)
• 右边第 1、2 项 \(= \int_{-\infty}^{a-\varepsilon} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{a+\varepsilon}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x\)（待求积分）
• 右边第 3 项 \(\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z) \, \mathrm{d}z = 0\)（由约当引理或大圆弧引理保证）
• 右边第 4 项 \(\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} f(z) \, \mathrm{d}z = -\pi i \text{Res } f(a)\)

3. 小半圆弧积分推导：将 \(f(z)\) 在 \(z=a\) 的邻域展开为洛朗级数 \(f(z) = \frac{a_{-1}}{z-a} + P(z-a)\)，其中 \(P(z-a)\) 为解析部分。

对解析部分积分：

对主部积分，令 \(z - a = \varepsilon e^{i\varphi}\)，且 \(\varphi\) 从 \(\pi\) 变到 \(0\)（顺时针）：

故 \(\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} f(z) \, \mathrm{d}z = -\pi i \text{Res } f(a)\)。

4. 结论公式：

若实轴上有 1 个 单极点，且 \(f(z)\) 满足类型条件：

若实轴上有 有限个 单极点：

（五）物理中常用典型积分¶

1. 菲涅耳积分¶

菲涅耳积分： $$ \int_0^{+\infty} \cos(x^2) \, \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} \sin(x^2) \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} $$

2. 热传导积分¶

热传导积分：计算 \(\int_0^{+\infty} e^{-bx^2}\cos(ax) \, \mathrm{d}x\)（\(a \geq 0, b > 0\)），结果为

小结¶

核心定理¶

留数计算规则¶

实积分类型与对应方法¶

练习题¶