引言¶
一阶正规形非线性方程组 $$ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = f_1(t,x_1,x_2,\dots,x_n), \\ \frac{dx_2}{dt}=f_2(t,x_1,x_2,\dots,x_n), \\ \dots\dots\dots \\ \frac{dx_n}{dt}=f_n(t,x_1,x_2,\dots,x_n). \end{cases} (E) $$ 任意正规形高阶方程
都可以变为等价的一阶正规形方程组，因此关于一阶正规形方程组 \((E)\) 的所有结论都可以转移到正规形高阶方程 \(E_n\) 上。
方程组 \((E)\) 可简记为 $\(\frac{dx}{dt} = f(t,x)\)$，其中 $\(\frac{dx}{dt} = \begin{pmatrix} \frac{dx_1}{dt} \\ \frac{dx_2}{dt} \\ \vdots \\ \frac{dx_n}{dt}\end{pmatrix},x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix},f(t,x) = \begin{pmatrix} f_1(t,x_1,x_2, \dots, x_n) \\ f_2(t, x_1, x_2, \dots, x_n) \\ \vdots \\ f_n(t,x_1,x_2,\dots,x_n)\end{pmatrix}.\)$ 方程组 \((E)\) 的最基本的定解问题是初值问题，也称为 柯西问题。设初值条件为 $$ x(\tau) = \xi $$ ，其中 \(\xi\) 是 \(n\) 维列向量。
皮卡存在与唯一性定理¶
Lipschitz 条件¶
函数 \(f(t,x)\) 在闭域 $$ R = {(t,x)| |t - \tau| \leq a,|x - \xi| \leq b} $$ 上满足利氏条件，如果 \(\exists N > 0\)，使得对任意点 \((t, x_1), (t, x_2) \in R\)，都有 $$ |f(t,x_1) - f(t,x_2)|\leq N|x_1 - x_2| $$ ，其中 \(N\) 称为 利氏常数。
Tip
由中值定理知，若 \(f(t,x)\) 在 \(R\) 上关于 \(x\) 的各个分量的偏微商都存在且有界，则 \(f(t,x)\) 在 \(R\) 上满足利氏条件。
皮卡定理¶
若 \(f(t,x)\) 在闭域 \(R\) 上连续，且满足利氏条件，则初值问题于区间 \(I_0 = \{t||t - \tau| \leq h\}\) 上存在唯一解，其中 $$ h = min\{a, \frac{b}{M}\} $$ ，\(M\) 是 \(|f(t,x)|\) 于 \(R\) 的一个上界。
Tip
区间 \(I_0\) 和 \(h\) 的构造是为了使得构造的皮卡迭代序列 \(\{\varphi_k(t)\}\) 不超出 \(I_0\)，从而 \(f(t,\varphi_k(t))\) 不超出 \(R\)，从而能使用 Lipschitz 条件。
证明思路
-
归结为证明等价的积分方程组 $\(x(t) = \xi + \int_{\tau}^t f(s, x(s))ds\)$ 于 \(I_0\) 上存在唯一连续解
-
在 \(I_0\) 上构造皮卡迭代序列 \(\{\varphi_k(t)\}\) 并证明其一致收敛。令 $$ \begin{aligned} \varphi_0(t) &= \xi \ \varphi_k(t) &= \xi + \int_{\tau}^t f(s,\varphi_{k - 1}(s))ds, k = 1,2, \dots \end{aligned} $$
-
证明唯一性。
假设有两个解 \(\varphi(t)\) 和 \(\phi(t)\)，令 \(u(t) = |\varphi(t) - \phi(t)|\)，则 $$ u(t) \leq N|\int_\tau^tu(s)ds| = 0 + |\int_\tau^tNu(s)ds| $$ 由 Bellman-Gronwell 不等式,
\[ u(t) \leq 0\cdot e^{\int_\tau^tNds} = 0 \]于是 \(u(t) = 0\)
Tip
皮卡序列的构造过程实质上是一边在证明 压缩映像原理，一边在用它解决常微分方程问题。
设 \(G\) 是 \((t,x)\) 空间的域，若对任意 \((\tau,\xi) \in G\)，都存在闭域 \(R \subset G\)，使得 \(f(t,x)\) 在 \(R\) 上满足利氏条件（对 \(G\) 上不同的点 \((\tau,\xi)\)，常数 \(a,b\) 和利氏常数 \(N\) 可能不同），则称 \(f(t,x)\) 于域 \(G\) 上 局部地满足利氏条件。
Tip
若 \(f(t,x)\) 在域 \(G\) 上关于 \(x\) 的各个分量的偏微商均存在且连续，则 \(f(t,x)\) 于 \(G\) 上局部地满足利氏条件。
- 利氏条件可以加强为 奥斯古德（Osgood，1864-1943）条件：对任意 \((t, x_1), (t, x_2) \in R\)，有 $$ |f(t, x_1) - f(t, x_2)| \leq G(||x_1 - x_2||) $$ 其中 \(G(s)\) 在 \(0 < s \leq s_0(s_0 > 0)\) 上连续，\(G(s) > 0\)，且 $$ \int_0^{s_0}\frac{ds}{G(s)} = + \infty $$
推论¶
若 \(f(t,x)\) 在域 \(G\) 内连续，且局部地满足利氏条件，则对任意 \((\tau,\xi) \in G\)，初值问题的解在含 \(\tau\) 的某一区间上的存在且唯一。
定理（解的整体唯一性）¶
若对任意 \((t_0,\xi_0) \in G\)，初值问题 \((E),x(t_0) = \xi_0\) 的解在含 \(t_0\) 的某区间上唯一，则对任意 \((\tau, \xi) \in G\)，初值问题的任意两个解在其共同存在区间上恒等。
保证 \((E)\) 的局部解唯一的任何条件，也能保证 \((E)\) 的整体解唯一。
解不唯一的情况，奇解¶
若 \(f(t,x)\) 在 \((t,x)\) 空间的域 \(G\) 内连续，且局部地满足利氏条件或其他更一般的条件，则对任何 \((\tau,\xi) \in G\)，初值问题的解不仅存在，而且是唯一的。
然而，如果只假设 \(f(t,x)\) 连续，那么初值问题的解依然存在，但不一定唯一。例如初值问题 $$ \frac{dx}{dt} = 2|x|^{\frac{1}{2}},x(0) = 0 $$ 就有无穷多个解。
从几何上看，初值问题的解唯一，就是只有一条积分曲线经过点 \((\tau,\xi)\)，初值问题有无穷多个解，就是有无穷多条积分曲线经过点 \((\tau,\xi)\)，所有这些积分曲线都在点 \((\tau,\xi)\) 相切。
考虑一阶隐方程 $$ F(t,x,x^{'}) = 0,(2.13) $$ 设 \(x = \varphi(t)\) 是方程 \((2.13)\) 在区间 \(I\) 上的解，若在它相应的积分曲线上任何一点都有方程 \((2.13)\) 的另一条积分曲线经过并在该点与之相切，则称 \(x = \varphi(t)\) 为方程 \((2.13)\) 在 \(I\) 上的 奇解。
设 \(F(t,x,p)\) 是 \((t,x,p)\) 的连续可微函数，则 \(x = \varphi(t)\) 是方程 \((2.13)\) 在 \(I\) 上的奇解的必要条件是 $$ \begin{aligned} &F(t,\varphi(t),\varphi^{'}(t)) = 0 \ &F_p(t,\varphi(t),\varphi^{'}(t))= 0 \end{aligned} $$ 必要条件表明，方程 \((2.13)\) 的奇解包含在由方程组 $$ \begin{cases} F(t,x,p) = 0 \ F_p(t,x,p) = 0 \end{cases} $$ 消去 \(p\) 而得到的曲线中，该曲线称为方程 \((2.13)\) 的 \(p\)-判别曲线。\(p\)-判别曲线是不是奇解，需要进一步验证。
定理¶
克莱罗(Clairaut,1713-1765)方程 $$ x = tx^{'} + g(x^{'}) $$ 恒有奇解，这里函数 \(g(p)\) 两次连续可微，且 \(g^{''}(p) \neq 0\)。
佩亚诺存在定理¶
定理¶
设 \(f(t,x)\) 于闭域 \(R = \{(t,x) | |t - \tau| \leq a, |x -\xi| \leq b\}\) 上连续，则初值问题有定义于区间 \(I_0 = \{t | |t - \tau| \leq h\}\) 上的解，其中 \(h = min\{a, \frac{b}{M}\}\)，\(M\) 是 \(|f(t,x)|\) 在 \(R\) 上的一个上界。
阿尔泽拉(Arzela)-阿斯科利(Ascoli)引理¶
意义与证明方法类似数学分析中的聚点原理。
定义¶
若存在常数 \(M_0 > 0\)，使得对任意 \(f(t) \in F\)，都有 $\(|f(t)| \leq M_0, t \in I,\)$ 则称函数族 \(F\) 在区间 \(I\) 上是 一致有界 的。
定义¶
若对任意 \(\epsilon > 0\)，都存在只与 \(\epsilon\) 相关的常数 \(\delta > 0\)，使得对任意 \(f(t) \in F\)，只要 \(t_1,t_2 \in I, |t_1 - t_2| \leq \delta\)，就有 $\(|f(t_1) - f(t_2)| \leq \epsilon\)$，则称函数族 \(F\) 在区间 \(I\) 上是 等度连续 的。
引理¶
假设 \(F = \{f(t)\}\) 是有限区间 \(I = [c, d]\) 上一致有界，等度连续的函数族，则 \(F\) 必有于区间 \(I\) 上一致收敛的子序列。
推论 3.1¶
若函数 \(f(t,x)\) 于 \((t,x)\) 空间的域 \(G\) 内连续，则对任意 \((\tau, \xi) \in G\)，初值问题有定义于含 \(\tau\) 的某区间（其长度一般与 \((\tau, \xi)\) 有关）上的解。
推论 3.2¶
若函数 \(f(t,x)\) 于 \((t,x)\) 空间的域 \(G\) 内连续，\(D\) 是 \((t, x)\) 空间的有界域，且 \(\overline{D} \subset G\)，则存在 \(h > 0\)，使得对任意 \((\tau, \xi) \in D\)，初值问题有定义在区间 \([\tau - h, \tau + h]\) 上的解。
解的延展与解的整体存在性¶
定理 5.1¶
设 \(f(t,x)\) 于 \((t,x)\) 空间域 \(G\) 内连续。若对任意 \((\tau, \xi) \in G\)，初值问题的解在含 \(\tau\) 的某一区间上是唯一的（可以使用解的整体唯一性），则 \(\dot{x} = f(t,x)\) 的任何非饱和解都可以延展成为饱和解。
定理 5.2¶
设 \(f(t,x)\) 于 \((t,x)\) 空间域 \(G\) 内连续，\(D\) 是 \((t,x)\) 空间中一有界域，且 \(\overline{D} \subset G\)。则方程组 \(\dot{x} = f(t,x)\) 经过 \(D\) 中任一点的解曲线，经向左和向右延展，都可以达到 \(D\) 的边界。
Tip
使用 引理 3.2 证明（对每个 \((\tau, \xi) \in D\), 有 固定的 \(h\) 使得方程组有定义在 \([\tau - h, \tau + h]\) 上的解。）
比较定理¶
解的存在定理告诉我们，微分方程的解的初值问题可以延拓到边界，但是解的存在区间的大小对于具体问题来说还是费解的，有了比较定理之后，我们会收获一个计算解的存在区间的强有力的工具。
第一比较定理¶
设函数 \(f(x, y)\) 和 \(F(x, y)\) 均在区域 \(G\) 内连续，且 $\(f(x,y) < F(x, y), (x,y) \in G,\)$ 又设函数 \(y = \phi(x)\) 和 \(y = \Phi(x)\) 在区间 \((a,b)\) 上分别是初值问题 $\(y^{'}=f(x,y),y(x_0)=y_0\)$ 和 $\(y^{'}=F(x,y),y(x_0) = y_0\)$ 的解，其中 \((x_0,y_0) \in G\)，则 $$ \begin{cases} \phi(x) < \Phi(x), x_0 < x < b, \ \phi(x) > \Phi(x), a < x < x_0. \end{cases} $$
Tip
第一比较定理要求 \(F(x,y)\) 严格地大于 \(f(x,y)\)，要是不严格的话我们可以取 \(f(x,y) = F(x,y)\) 为反例，它们的解是无法比较大小的。
假设 \(f(t,x)\) 在域 \(G = \{(t,x) | T_0 < t < T_1, |x| < +\infty\}\) 内连续。根据延展定理容易证明，若方程组的任意饱和解 \(x = \varphi(t)\) 是有界的，即存在常数 \(C\) 使得 \(|\varphi(t)| \leq C\)，则 \(x = \varphi(t)\) 的存在区间是 \((T_0, T_1)\)。事实上，对充分小的 \(\delta > 0\)，记 \(D = \{(t,x) | T_0 + \delta < t < T_1 - \delta, |x| < 2C\}\)，由定理 5.2 知解曲线 \(x = \varphi(t)\) 向左、右延展都可以达到 \(D\) 的边界。但是 \(|\varphi(t)| \leq C\)，所以它不可能达到 \(|x| = 2C\)，于是它一定可以达到 \(t = T_0 + \delta\) 和 \(t = T_1 - \delta\)，即 \(x = \varphi(t)\) 至少在 \([T_0+ \delta,T_1 - \delta]\) 上有定义，此时我们称方程组 \((E)\) 存在整体解。
定理 5.6¶
若 \(f(t,x)\) 在域 \(G\) 内连续，且 $$ |f(t,x)| \leq A|x| + B $$ ，其中 \(A,B\) 是常数，则方程组 \((E)\) 的任何饱和解 \(x = \varphi(t)\) 都在区间 \((T_0, T_1)\) 上存在。
证明
设 \(\varphi(t) = (\varphi_1(t), \varphi_2(t),\dots,\varphi_n(t))\) 的存在区间为 \((a, b)\)，其中 \(T_0 < a < b < T_1\)。存在 \(\delta > 0\)，使得 \(T_0 + \delta < a < b < T_1 - \delta\)，也即 \((a, b) \subseteq [T_0 + \delta, T_1 - \delta]\)，若 \(\varphi(t)\) 在其存在区间内有界，也即 \(\exists C > 0, |\varphi(t)| \leq C\)，考虑域 \(G\) 内有界域 $$ D = {(t,x) | t \in [T_0 + \delta, T_1 - \delta], |x| \leq 2C} $$ ，则 \(\varphi(t)\) 是 \(D\) 内的解曲线 \(\Rightarrow \varphi(t)\) 可以拓展到 \(D\) 的边界，又 \(|\varphi(t)| \leq C \Rightarrow \varphi(t)\) 不可能达到 \(|x| = 2C \Rightarrow \varphi(t)\) 可拓展到 \([T_0 + \delta, T_1 - \delta]\)。由 \(\delta \rightarrow 0\) 得到 \(\varphi(t)\) 存在区间为 \((T_0, T_1)\)。故只需证明 \(\varphi(t)\) 在其存在区间 \((a,b)\) 内有界。 假设 \(x = \varphi(t)\) 在 \([t_0, b)\) 无界（这里 \(t_0 \in (a,b)\)。令
，则 \(r(t)\) 在 \([t_0,b)\) 上连续，且在其不为零的点处连续可微。因为 \(\varphi(t)\) 在 \([t_0,b)\) 上无界，所以对任意 \(K > r(t_0) + 1\)，都有 \(t_k \in (t_0, b)\)，使得 \(r(t_k) \geq K\)。根据 \(r(t)\) 的连续性，存在 \(\tau_k \in (t_0, t_k)\)，使得 \(r(\tau_k) = r(t_0) + 1\)，且当 \(t \in [\tau_k, t_k]\) 时，\(r(t) > 0\)。又由 Cauchy 不等式知 \(|\varphi(t)| \leq \sqrt{n}r(t)\)， $$ \begin{align} \frac{dr(t)}{dt} &= \frac{1}{r(t)}\sum\limits_{i = 1}^n {\varphi_i(t) f_i(t,\varphi(t))} \\ &\leq \frac{1}{r(t)} \sum\limits_{i = 1}^n {|\varphi_i(t)||f(t,\varphi(t)|} \\ &\leq \sqrt{n}|f(t,\varphi(t)| \\ &\leq \sqrt{n}(A|\varphi(t)| + B) & \\ &\leq \sqrt{n}(A\sqrt{n}r(t) + B) \end{align} $$ ，上式两端从 \(\tau_k\) 到 \(t_k\) 积分得 $$ ln(A\sqrt{n}r(t_k)+B) - ln(A\sqrt{n}r(\tau_k)+B)) \leq An(t_k - \tau_k) \leq An(b - t_0) $$ ，上式右端是有限的，而由 \(t(\tau_k) \geq K\) 知，当 \(K\) 充分大时，上式左端可以任意大，矛盾！这说明 \(x = \varphi(t)\) 在 \([t_0, b)\) 有界。
定理 5.6 中的条件可以推广为 $$ |f(t,x)| \leq G(||x||),(t,x) \in G, $$ 其中 \(G(s)\) 在 \(s \geq 0\) 上连续，当 \(s > 0\) 时，\(G(s) > 0\)，且 $$ \int_{s_0}^{+\infty} \frac{ds}{G(s)} = +\infty,s_0 > 0 $$
定理 5.7¶
若 \(f(t,x)\) 在 \(G\) 内连续且满足上述条件，则 \(\dot{x} = f(t,x)\) 的任何饱和解 \(x = \varphi(t)\) 都在区间 \((T_0, T_1)\) 上存在。
Tip
若不存在 \(t_0\) 使得 \(\lim\limits_{t \rightarrow t_0}|x(t)| \rightarrow + \infty\)，则可以构造有界域 \(D = \{(t,x)| -h < t < h,|x| < 2 \cdot M\)，\(M\) 是 \(x(t)\) 在有限区间 \((-h, h)\) 的一个上界。则 \(x(t)\) 可以拓展到 \(D\) 的边界，而 \(x(t)\) 达不到 \(|x| = 2 \cdot M\}\)，故 \(x(t)\) 可以拓展到 \((-h, h)\)，由 \(h\) 的任意性知 \(x(t)\) 可以拓展到 \((-\infty,+\infty)\)。
由 \(p \rightarrow q \Leftrightarrow \neg q \rightarrow \neg p\) 知不能拓展到 \((-\infty,+\infty)\Rightarrow\) 存在 \(t_0 > 0\)，使 \(\lim\limits_{t \rightarrow t_0} |x(t)| \rightarrow + \infty\)。
解对初值和参数的连续性¶
以下我们假设 \(f(t,x)\) 在 \((t,x)\) 空间的域 \(G\) 内连续，且局部地满足利氏条件。
根据推论 2.1 和 定理 5.1，对任意 \((\tau,\xi) \in G\)，方程组 \((E) : \dot{x} = f(t,x)\) 的满足初值条件 \(x(\tau) = \xi\) 的饱和解存在且唯一，记为 $$ x = \varphi(t, \tau, \xi) $$ ，设其存在区间为 \((a(\tau,\xi),b(\tau,\xi))\)，则 \(\varphi(t,\tau,\xi)\) 是集合 $$ S = {(t,\tau,\xi)|t\in(a(\tau,\xi),b(\tau,\xi)),(\tau,\xi) \in G},(6.1) $$ 上的 \(n + 2\) 元向量函数。（\(t, \tau\) 为一元，\(\xi\) 为 \(n\) 元）
定理 6.1¶
若 \(x = \psi(t)\) 是方程组 \((E)\) 的解，\([\alpha,\beta]\) 是其存在区间的任一有限子区间，则存在 \(\delta > 0\)，使得当 $\(\tau \in [\alpha, \beta]，|\xi - \psi(\tau)| \leq \delta\)$ 时，方程组 \((E)\) 的解 \(x = \varphi(t, \tau, \xi)\) 至少在 \([\alpha, \beta]\) 上有定义，并且对 \((t, \tau, \xi)\) 是闭域 $$ V = {(t, \tau, \xi)| t\in [\alpha, \beta], \tau \in [\alpha,\beta], |\xi - \psi(\tau)| \leq \delta} $$ 上的连续函数。
定理 6.1 在理论和应用上都有重要意义。我们知道，在实际应用中，微分方程往往描述某种物理过程。将一个物理过程化为微分方程的初值问题时，初值条件是通过测量确定的，而测量一般不能保证绝对准确。如果初值的微小误差引起对应的解有很大变动，那么所求得的初值问题的解的使用价值就会很小。有了定理 6.1，这种情形就不会发生。
推论 6.1¶
若方程组 \((E)\) 的解 \(x = \varphi(t,\tau_0,\xi_0)\) 在有限闭区间 \([\alpha,\beta]\) 上有定义，\(\tau_0 \in (\alpha, \beta)\)，则当 \((\tau,\xi)\) 与 \((\tau_0, \xi_0)\) 充分靠近时，解 \(x = \varphi(t, \tau, \xi)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上有定义，且对 \(t \in [\alpha,\beta]\) 一致地有
Tip
由 \(\varphi(t,\tau,\xi)\) 是 \(V\) 上的关于 \((t,\tau,\xi)\) 的连续函数，显然。
推论 6.2¶
方程组 \((E)\) 的解 \(x = \varphi(t, \tau, \xi)\) 在由 \((6.1)\) 式表示的集合 \(S\) 上连续。此外，\(S\) 是 \((t,\tau,\xi)\) 空间上的开集。
下面考虑含参量 \(\lambda\) 的方程组 $$ \frac{dx}{dt} = f(t,x,\lambda),(E)_\lambda $$
设 \(G\) 为 \((t,x)\) 空间的域，\(D\) 为 \(\lambda\) 空间的域，假设 \(f(t,x,\lambda)\) 在 $$ G \times D = {(t,x,\lambda)|(t,x) \in G, \lambda \in D} $$ 内连续，且对 \((x,\lambda)\) 局部地满足利氏条件，则根据存在与唯一性定理，对任意 \(\lambda \in D\) 和 \((\tau,\xi) \in G\)，初值问题 \((E)_\lambda,x(\tau) = \xi\) 的饱和解存在且唯一，记为 \(x = \varphi(t,\tau,\xi,\lambda)\)。
定理 6.2¶
设 \(f(t,x,\lambda)\) 于域 \(G\times D\) 内连续，且对 \((x, \lambda)\) 局部地满足利氏条件。若 \(x = \psi(t)\) 是方程组 \((E)_{\lambda_0},\lambda_0 \in D\) 的一个解，\([\alpha,\beta]\) 是其存在区间的任一有限闭子区间，则存在 \(\delta > 0\)，使得 \(x = \varphi(t,\tau,\xi,\lambda)\) 于闭域 $$ V = {(t,\tau,\xi,\lambda)| t,\tau \in [\alpha,\beta],|\xi - \psi(\tau)| + |\lambda - \lambda_0| \leq \delta} $$ 上有定义且连续。
类似地有推论 6.3 和 推论 6.4
解对初值和参数的可微性¶
Bellman-Gronwall 不等式¶
设 \(x(t)\) 和 \(f(t)\) 是区间 \([t_1, t_2]\) 上非负连续的纯量函数。若存在非负常数 \(k\) 和 \(\tau \in (t_1， t_2)\)，使得 $$ x(t) \leq k + | \int_\tau^tf(s)x(s)ds|, \space t \in(t_1,t_2) $$ ，则
定理 7.1 解对初值的可微性¶
若 \(f(t, x)\) 及其对 \(x\) 的各分量的偏微商于 \((t,x)\) 空间域 \(G\) 内连续，则方程组 \((E)\) 的解 \(x = \varphi(t, \tau, \xi)\) 在集合 $$ S = {(t, \tau, \xi) | t \in (a(\tau, \xi), b(\tau, \xi)), (\tau, \xi) \in G} $$ 内连续可微，且 \(y = \frac{\partial\varphi}{\partial\xi_i}(t, \tau, \xi)(i = 1, 2, \dots, n), y = \frac{\partial\varphi}{\partial\tau}(t, \tau, \xi)\) 分别是初值问题 $$ \begin{align} &y^{'} = f_x(t, \varphi(t, \tau, \xi))y,\space y(\tau) = e_i,\space i = 1, 2, \dots, n \space \space(7.3) \\ &y^{'} = f_x(t, \varphi(t, \tau, \xi))y,\space y(\tau) = -f(\tau, \xi) \space (7.4) \end{align} $$
的解，其中 \(f_x(t,x)\) 是 \(f(t,x)\) 关于 \(x\) 的雅可比（Jacobi）矩阵，\(\xi_i\) 是 \(\xi\) 的第 \(i\) 个分量，\(e_i\) 是第 \(i\) 个 \(n\) 维基本列向量。
注 7.1¶
当 \(n = 1\) 时， $$ \begin{align} \frac{\partial\varphi}{\partial \xi}(t, \tau, \xi) = exp { \int_\tau^t f_x(s, \varphi(s,\tau,\xi))ds } \ \frac{\partial\varphi}{\partial \tau} = - f(\tau, \xi)exp {\int_\tau^t f_x(s, \varphi(s, \tau, \xi))ds} \end{align} $$
注 7.2¶
反复利用上述各式，可以进一步得到关于解对初值的高阶可微性定理。例如，若 \(f(t,x)\) 对 \(x\) 的直到 \(r(r \geq 1)\) 阶微商都在域 \(G\) 内连续，则 \(\varphi(t, \tau, \xi)\) 对 \(\xi\) 的直到 \(r\) 阶微商都连续。
定理 7.2 解对参量的连续性¶
若 \(f(t, x, \lambda)\) 及其对 \(x\) 于 \(\lambda\) 的各个分量的偏微商于域 \(G \times D\) 内连续，则对任意 \((\tau, \xi, \lambda) \in G \times D\)，方程组 \((E)_\lambda\) 的解 \(x = \varphi(t, \tau, \xi, \lambda)\) 在 $$ S = {(t, \tau, \xi, \lambda) | t \in (a(\tau, \xi, \lambda),b(\tau,\xi, \lambda)), (\tau, \xi, \lambda) \in G \times D} $$ 内连续可微，且 $$ y = \frac{\partial\varphi}{\partial\xi_i}(t, \tau, \xi, \lambda)(i = 1, 2, \dots, n), \space y = \frac{\partial\varphi}{\partial \tau}(t, \tau, \xi, \lambda), \space y = \frac{\partial\varphi}{\partial \lambda_j}(t, \tau, \xi, \lambda)(j = 1, 2, \dots, m) $$ 分别是初值问题 $$ \begin{align} &y^{'} = f_x(t, \varphi(t, \tau, \xi, \lambda), \lambda)y, \space y(\tau) = e_i, \space i = 1, 2, \dots, n \\ &y^{'} = f_x(t, \varphi(t, \tau, \xi, \lambda), \lambda)y, \space y(\tau) = -f(\tau, \xi, \lambda) \\ &y^{'} = f_x(t, \varphi(t, \tau, \xi, \lambda), \lambda)y + f_{\lambda_j}(t, \varphi(t, \tau, \xi, \lambda), \lambda), \space y(\tau) = 0, \space j = 1, 2, \dots, m \end{align} $$ 的解，其中 \(\lambda_j\) 是 \(\lambda\) 的第 \(j\) 个分量。