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重点：Fourier 级数的复指数展开、Fourier 变换对的推导、逆变换的严格证明

难点：从 Fourier 级数到 Fourier 变换的极限过渡、Dirac \(\delta\) 函数在逆变换证明中的作用

1 Fourier 级数

1.1 核心思想

Fourier 分解原理

任何周期函数，都可以写成不同频率正弦/余弦波的叠加。

就像一首音乐可以拆成 Do、Re、Mi 等不同音高的音符一样：

\[ \text{方波} = \sin(\omega_0 t) + \frac{1}{3}\sin(3\omega_0 t) + \frac{1}{5}\sin(5\omega_0 t) + \cdots \]

1.2 三角形式的 Fourier 级数

若 \(f(t)\) 周期为 \(T\)，基频 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\)，则：

\[ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)\right] \]

其中各分量的含义：

  • \(a_0\) — 直流分量（平均值）
  • \(a_n \cos(n\omega_0 t)\) — 第 \(n\) 次余弦谐波
  • \(b_n \sin(n\omega_0 t)\) — 第 \(n\) 次正弦谐波
  • \(n\omega_0\) — 第 \(n\) 次谐波频率（基频的整数倍）

系数公式

\[ a_0 = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, dt \]
\[ a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(n\omega_0 t) \, dt \]
\[ b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(n\omega_0 t) \, dt \]

定理 1（三角级数展开）

若周期函数 \(f(t)\) 满足 Dirichlet 条件（有限个极值点和第一类间断点），则其 Fourier 三角级数展开收敛，且在连续点收敛到 \(f(t)\)，在间断点收敛到左右极限的平均值。

正交性基础

系数公式的推导依赖于三角函数系的 正交性：

\[ \int_{-T/2}^{T/2} \sin(m\omega_0 t) \sin(n\omega_0 t) \, dt = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ T/2, & m = n \end{cases} \]
\[ \int_{-T/2}^{T/2} \cos(m\omega_0 t) \cos(n\omega_0 t) \, dt = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ T/2, & m = n \end{cases} \]
\[ \int_{-T/2}^{T/2} \cos(m\omega_0 t) \sin(n\omega_0 t) \, dt = 0 \]

利用正交性，在级数两边同乘 \(\cos(n\omega_0 t)\) 再积分，其他项都消失，只剩下 \(a_n\)。

1.3 复指数形式

Euler 公式

\[ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} \]

复指数级数

将三角级数中的 \(\cos\) 和 \(\sin\) 用 Euler 公式替换，整理后得到更简洁的 复指数形式：

\[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \]

其中系数统一为：

\[ \boxed{c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jn\omega_0 t} \, dt} \]

正负频率的含义

  • \(n = 0\)：直流分量
  • \(n > 0\)：正频率分量
  • \(n < 0\)：负频率分量（数学对称性，与正频率分量共轭配对）

1.4 频谱概念

周期信号的频谱是 离散的，只在基频整数倍处有谱线：

时域 \(f(t)\) 频域 \(c_n\)
周期方波 在 \(\omega_0, 3\omega_0, 5\omega_0, \dots\) 处有谱线
周期锯齿波 在 \(\omega_0, 2\omega_0, 3\omega_0, \dots\) 处有谱线

离散谱线

周期信号的频谱像一道"栅栏"，只在离散频率点上有非零值，相邻谱线间隔为 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\)。

2 从 Fourier 级数到 Fourier 变换

2.1 启发式推导：周期趋于无穷

核心思路

非周期函数可以看作 周期 \(T \to \infty\) 的周期函数的极限。当周期越来越大时，离散谱线挤在一起，变成连续谱。

设周期为 \(T\) 的函数为 \(f_T(t)\)，其复指数展开为：

\[ f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t}, \quad \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \]

将系数 \(c_n\) 的表达式代入：

\[ f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f_T(\tau) e^{-jn\omega_0 \tau} \, d\tau\right] e^{jn\omega_0 t} \]

定义离散频率 \(\omega_n = n\omega_0\)，频率间隔 \(\Delta\omega = \omega_0 = \frac{2\pi}{T}\)，则 \(\frac{1}{T} = \frac{\Delta\omega}{2\pi}\)：

\[ f_T(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underbrace{\left[\int_{-T/2}^{T/2} f_T(\tau) e^{-j\omega_n \tau} \, d\tau\right]}_{F_T(\omega_n)} e^{j\omega_n t} \, \Delta\omega \]

2.2 极限过渡

当 \(T \to \infty\) 时：

  • 离散频率 \(\omega_n\) → 连续变量 \(\omega\)
  • 频率间隔 \(\Delta\omega\) → 微分 \(d\omega\)
  • 求和 \(\sum\) → 积分 \(\int\)
  • 积分区间 \([-T/2, T/2]\) → \((-\infty, +\infty)\)

于是得到：

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} \, d\omega \]

其中：

\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt \]

定义 1（Fourier 变换对）

Fourier 正变换：

\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt \]

Fourier 逆变换：

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} \, d\omega \]

3 逆变换的严格证明

3.1 证明思路

将正变换代入逆变换，验证确实还原 \(f(t)\)。

\[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} \, d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-j\omega \tau} \, d\tau\right] e^{j\omega t} \, d\omega \]

交换积分次序（需满足绝对可积等条件）：

\[ = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega(t-\tau)} \, d\omega\right] d\tau \]

3.2 Dirac Delta 函数

内层积分正是 Dirac \(\delta\) 函数的 Fourier 表示：

\[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega(t-\tau)} \, d\omega = \delta(t-\tau) \]

定义 2（Dirac Delta 函数）

Dirac \(\delta\) 函数满足：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-\tau) \, d\tau = 1, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \, d\tau = f(t) \]

筛选性质：\(\delta(t-\tau)\) 在 \(\tau = t\) 处"筛选"出 \(f(t)\) 的值。

3.3 最终还原

利用 \(\delta\) 函数的筛选性质：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \, d\tau = f(t) \]
\[ \boxed{\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} \, d\omega = f(t)} \]

证明的物理直觉

Fourier 正变换将信号 \(f(t)\) 分解 为不同频率成分 \(F(\omega)\)；逆变换通过 \(\delta\) 函数的"频率全同相长"机制将这些成分 完美重组 ，还原原始信号。这一证明揭示了 Fourier 变换对之间深刻的自洽性。

4 Fourier 变换的标准形式

4.1 角频率形式（\(\omega\)，最常用）

公式
正变换 \(\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt\)
逆变换 \(\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} \, d\omega\)

4.2 普通频率形式（\(f\)，单位 Hz）

利用 \(\omega = 2\pi f\)，\(d\omega = 2\pi \, df\)：

公式
正变换 \(\displaystyle \hat{f}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi f t} \, dt\)
逆变换 \(\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(f) e^{j2\pi f t} \, df\)

特点

普通频率形式的正逆变换 完全对称 ，无 \(1/2\pi\) 系数。工程领域（信号处理、通信）中更常用此形式。

4.3 对称归一化形式（数学/物理常用）

公式
正变换 \(\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt\)
逆变换 \(\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} \, d\omega\)

三种形式的本质相同

三种形式只是系数分配不同，完全等价。选择哪种形式取决于学科惯例：物理学家偏爱对称归一化，工程师偏爱普通频率形式。

5 Fourier 积分定理

5.1 Dirichlet 条件

若 \(f(t)\) 满足以下条件，则 Fourier 变换存在：

  1. 绝对可积：\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| \, dt < \infty\)
  2. 有限极值：在任何有限区间内只有有限个极大值和极小值
  3. 有限间断：在任何有限区间内只有有限个第一类间断点

5.2 收敛结果

位置类型 逆变换收敛结果
\(f(t)\) 连续点 \(\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} \, d\omega = f(t)\)
\(f(t)\) 第一类间断点 收敛到 \(\displaystyle \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}\)

绝对可积的局限

常数函数、正弦/余弦函数、阶跃函数等常见信号 不满足 绝对可积条件，严格意义上不存在经典 Fourier 变换。此时需要借助 广义函数（\(\delta\) 函数）来定义其 Fourier 变换。

6 Fourier 变换与 Laplace 变换的关系

Fourier 变换 Laplace 变换
核函数 \(e^{-j\omega t}\)（纯虚指数） \(e^{-st} = e^{-(\sigma+j\omega)t}\)（复指数）
积分路径 沿虚轴 \(s = j\omega\) 沿 \(\text{Re}(s) = \sigma\) 的竖线
收敛要求 \(f(t)\) 绝对可积 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 绝对可积（更宽松）
适用信号 衰减/有限能量信号 因果/增长信号（如阶跃、指数增长）
与另一变换的关系 Laplace 在 \(\sigma = 0\) 时的特例 Fourier 在复平面上的推广

定理 2（变换关系）

对于 \(t < 0\) 时 \(f(t) = 0\) 的因果信号，若其 Laplace 变换 \(F(s)\) 的收敛域包含虚轴（\(\sigma = 0\)），则：

\[ \mathcal{F}[f(t)] = \mathcal{L}[f(t)]\big|_{s = j\omega} \]

即 Fourier 变换等于 Laplace 变换在虚轴上的取值。

Laplace 的优势

Fourier 变换要求信号绝对可积，很多工程信号（如常数、阶跃）不满足此条件。Laplace 变换通过引入衰减因子 \(e^{-\sigma t}\)，使更广泛的函数类可以进行变换分析，是工程领域的首选工具。

7 总结

本章核心要点

  • Fourier 级数：周期信号可分解为离散频率的正弦波之和，频谱呈"栅栏"状
  • 复指数形式：利用 Euler 公式将三角级数统一为 \(c_n e^{jn\omega_0 t}\)，系数公式更简洁
  • 极限过渡：\(T \to \infty\) 时，离散频率挤成连续谱，求和变积分，级数演变为变换
  • Fourier 变换对：正变换分解信号为频率成分，逆变换通过 \(\delta\) 函数完美重组
  • 三种等价形式：角频率形式（数学常用）、普通频率形式（工程常用）、对称归一化形式（物理常用）
  • 存在条件：Dirichlet 条件保证变换存在，逆变换在连续点精确还原
  • 与 Laplace 的关系：Fourier 是 Laplace 在虚轴上的特例，Laplace 适用范围更广