第二章复变数函数

2.1 复变函数¶

自变量与因变量都是复数的函数，称 复变量函数 。

（一）复变函数定义¶

设 \(B\) 和 \(F\) 是复平面中的两个集合。如果有一种对应规则 \(f\)，使得 \(B\) 中的每个点 \(z\)，都有一个唯一确定的点 \(w \in F\) 与之对应，则我们称 \(f\) 是一个 复变量函数 ，或简称 复变函数 ，记作 \(w = f(z)\)（\(z \in B\)）。

\(B\) 是函数 \(w = f(z)\) 的 定义域 ，\(F\) 是 \(f(z)\) 的值域
如果 \(z\) 的一个值对应着一个 \(w\) 的值，那么我们称函数 \(f(z)\) 是 单值的
如果 \(z\) 的一个值对应着两个或两个以上 \(w\) 的值，那么我们称函数 \(f(z)\) 是 多值的

由于函数 \(f(z)\) 是一个复数，所以可以将复变函数 \(f(z)\) 表示为实部与虚部之和：

\[ f(z) = u(x,y) + iv(x,y), \quad z = x + iy \]

上式表示：一个复变函数可以用两个二元实函数表示。

（二）初等解析函数¶

1 指数函数¶

定义：设 \(z = x + iy\)，称

\[ e^z = e^x(\cos y + i\sin y) \]

为 \(z\) 的 指数函数 。

注意

这里的 \(e^z\) 没有幂的意义，只是一个符号，代表 \(e^x(\cos y + i\sin y)\)。

性质：

\(|e^z| = e^x > 0\)，\(\arg(e^z) = y\)，\(\operatorname{Arg}(e^z) = y + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\)，因此 \(e^z \neq 0\)
\(e^z\) 在 \(z\) 平面上处处解析，而且 \((e^z)' = e^z\)
\(e^{z_1} e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}\)
\(e^z\) 是以 \(2\pi i\) 为周期的周期函数

2 三角函数¶

由欧拉公式 \(e^{iy} = \cos y + i\sin y\) 和 \(e^{-iy} = \cos y - i\sin y\)，将两式相加与相减，可得：

\[ \cos y = \frac{e^{iy} + e^{-iy}}{2}, \quad \sin y = \frac{e^{iy} - e^{-iy}}{2i} \]

现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况。

定义：

\[ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \text{称为正弦函数} \]

\[ \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \text{称为余弦函数} \]

性质：

\(\sin z\) 是奇函数，\(\cos z\) 是偶函数：\(\sin(-z) = -\sin z\)，\(\cos(-z) = \cos z\)
正弦函数和余弦函数都以 \(2\pi\) 为周期：\(\sin(z + 2\pi) = \sin z\)，\(\cos(z + 2\pi) = \cos z\)
\(e^{iz} = \cos z + i\sin z\)（欧拉公式推广）
\(\sin z\) 的零点为 \(z = n\pi\)，\(\cos z\) 的零点为 \(z = (n + \frac{1}{2})\pi\)，\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots\)
\(\sin z, \cos z\) 在复数域内均是 无界函数 （这是与实变函数完全不同的！）

零点推导

\(\sin z = 0 \Rightarrow \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = 0 \Rightarrow e^{iz} = e^{-iz} \Rightarrow e^{i2z} = 1 \Rightarrow z = n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\)

与实变函数的区别

当 \(y \to \infty\) 时，\(|\sin yi| = \left|\frac{e^{-y} - e^{y}}{2i}\right| \to \infty\)，\(|\cos yi| \to \infty\)。因此 \(|\sin z| \le 1\) 与 \(|\cos z| \le 1\) 在复数域中 不再成立 。

其它复变三角函数 ：

\[ \tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \quad \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}, \quad \sec z = \frac{1}{\cos z}, \quad \csc z = \frac{1}{\sin z} \]

\(\tan z\) 的性质：

\(\tan z\) 是奇函数：\(\tan(-z) = -\tan(z)\)
\(\tan z\) 是以 \(\pi\) 为周期的周期函数：\(\tan(z + \pi) = \tan z\)

3 双曲函数¶

定义：

\[ \operatorname{sh} z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \quad \text{称为双曲正弦函数} \]

\[ \operatorname{ch} z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}, \quad \text{称为双曲余弦函数} \]

性质：

\(\operatorname{sh} z\) 是奇函数：\(\operatorname{sh}(-z) = -\operatorname{sh} z\)；\(\operatorname{ch} z\) 是偶函数：\(\operatorname{ch}(-z) = \operatorname{ch} z\)
\(\operatorname{sh} z\)、\(\operatorname{ch} z\) 都是以 \(2\pi i\) 为周期的周期函数
\(\operatorname{sh} z\)、\(\operatorname{ch} z\) 在 \(z\) 平面上处处解析，且 \((\operatorname{sh} z)' = \operatorname{ch} z\)，\((\operatorname{ch} z)' = \operatorname{sh} z\)
\(\operatorname{ch}^2 z - \operatorname{sh}^2 z = 1\)
\(\sin(iz) = i\operatorname{sh} z\)，\(\cos(iz) = \operatorname{ch} z\)

4 幂函数¶

定义：设 \(\alpha\) 是任意复数，对于 \(z \neq 0\)，用下列等式定义 \(z\) 的 幂函数 ：

\[ w = z^\alpha = e^{\alpha \ln z} \quad (z \neq 0) \]

当 \(\alpha\) 是正实数时，补充规定 \(z = 0\) 时，\(z^\alpha = 0\)。

性质：

一般说来，\(z^\alpha\) 是一个无穷多值函数。当 \(\ln z\) 取主值 \(\operatorname{Ln} z\) 时，\(z^\alpha = e^{\alpha \operatorname{Ln} z}\) 称为幂函数 \(z^\alpha\) 的主值
\((z^\alpha)' = \alpha z^{\alpha - 1}\)
令 \(z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，则 \(z^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))\)

5 对数函数¶

满足方程 \(e^w = z\)（\(z \neq 0\)）的函数 \(w = f(z)\) 称为 对数函数 ，记为 \(w = \operatorname{Ln} z\)。

因此：

\[ w = \operatorname{Ln} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z = \ln|z| + i\arg z + 2k\pi i \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \]

而当 \(\operatorname{Ln} z = \ln|z| + i\arg z\)（\(-\pi < \arg z \le \pi\)）称为对数函数 \(\operatorname{Ln} z\) 的主值（支）。

对于每一个固定的 \(k\)，可确定一个单值函数，称为 \(\operatorname{Ln} z\) 的一个分支。

性质：

\(\operatorname{Ln} z\) 是一个无穷多值的函数
设 \(z_1 \neq 0\)，\(z_2 \neq 0\)，则 \(\operatorname{Ln}(z_1 z_2) = \operatorname{Ln} z_1 + \operatorname{Ln} z_2\)，\(\operatorname{Ln}\frac{z_1}{z_2} = \operatorname{Ln} z_1 - \operatorname{Ln} z_2\)
在平面上除去原点和负实轴外，\(\operatorname{Ln} z\) 处处解析，且 \((\operatorname{Ln} z)' = \frac{1}{z}\) (很好理解， \(\ln x\) 在 \(x \leq 0\) 时无定义)

有理整函数与有理分式函数¶

有理整函数（多项式） ：

\[ w = P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots + a_n z^n \]

对复平面内的所有点 \(z\) 都是连续的。

有理分式函数 ：

\[ w = R(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}, \quad (Q(z) \neq 0) \]

其中 \(P(z)\) 和 \(Q(z)\) 都是多项式，在复平面内使分母不为零的点也是连续的。

例题¶

例1：解方程 \(\sin z = 0\)

解：

\[ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = \frac{e^{2iz} - 1}{2ie^{iz}} = 0 \]

\[ \Rightarrow e^{2iz} = 1 \Rightarrow e^{2iz} = e^{2k\pi i} \Rightarrow z = k\pi \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \]

思考题¶

复数为什么不能比较大小？

观察复数 \(i\) 和 \(0\)，由复数的定义可知 \(i \neq 0\)：

若 \(i > 0\)，则 \(i \cdot i > 0 \cdot i\)，即 \(-1 > 0\)，矛盾
若 \(i < 0\)，则 \(i \cdot i > 0 \cdot i\)，同样有 \(-1 > 0\)，矛盾

由此可见，在复数中 无法定义大小关系 。

实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同？

相同点 ：两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的，而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。

最大的区别 ：实变三角函数中，正余弦函数都是有界函数，但在复变三角函数中，\(|\sin z| \le 1\) 与 \(|\cos z| \le 1\) 不再成立 ！

1.2 复变函数的导数（微分）¶

（一）函数的极限¶

对于复变函数，同样可以谈论它们的极限与连续性，在形式上与实函数情形完全类似。

定义：设函数 \(w = f(z)\) 定义在 \(z\) 的去心邻域 \(0 < |z - z_0| < \rho\) 内，如果有一确定的数 \(A\) 存在，对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，相应地必有一正数 \(\delta(\varepsilon)\) 使得当 \(0 < |z - z_0| < \delta\)（\(0 < \delta \le \rho\)）时，有 \(|f(z) - A| < \varepsilon\)，那么称 \(A\) 为 \(f(z)\) 当 \(z\) 趋向于 \(z_0\) 时的极限，记作：

\[ \lim_{z \to z_0} f(z) = A \]

注意

定义中 \(z \to z_0\) 的方式是 任意的 ，这是复变函数极限与实变函数极限的本质区别。

定理一（极限分解定理）¶

设 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)，\(A = u_0 + iv_0\)，\(z_0 = x_0 + iy_0\)，则 \(\displaystyle\lim_{z \to z_0} f(z) = A\) 的充要条件是：

\[ \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} u(x,y) = u_0, \quad \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} v(x,y) = v_0 \]

该定理将求复变函数 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\) 的极限问题，转化为求两个二元实变函数 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 的极限问题。

定理二（极限运算法则）¶

设 \(\displaystyle\lim_{z \to z_0} f(z) = A\)，\(\displaystyle\lim_{z \to z_0} g(z) = B\)，那么：

\(\displaystyle\lim_{z \to z_0} [f(z) \pm g(z)] = A \pm B\)
\(\displaystyle\lim_{z \to z_0} [f(z) g(z)] = AB\)
\(\displaystyle\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)\)

例2：证明 \(f(z) = \frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|}\) 当 \(z \to 0\) 时的极限不存在

证：令 \(z = x + iy\)，则 \(f(z) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)，\(u(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)，\(v(x,y) = 0\)。

当 \(z\) 沿直线 \(y = kx\) 趋于零时：

\[ \lim_{\substack{x \to 0 \\ y = kx}} u(x,y) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + (kx)^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2(1+k^2)}} = \pm\frac{1}{\sqrt{1+k^2}} \]

随 \(k\) 值的变化而变化，所以 \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} u(x,y)\) 不存在，根据定理一可知，\(\displaystyle\lim_{z \to 0} f(z)\) 不存在。

（二）函数的连续性¶

定义：如果 \(\displaystyle\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\)，那么我们就说 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处连续。如果 \(f(z)\) 在区域 \(B\) 内每点连续，我们说 \(f(z)\) 在区域（集合）\(B\) 内连续。

定理三（连续性分解定理）¶

函数 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\) 在 \(z_0 = x_0 + iy_0\) 连续的充要条件是：\(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 处都连续。

例：\(f(z) = \ln(x^2 + y^2) + i(x^2 - y^2)\)

\(u(x,y) = \ln(x^2 + y^2)\) 在复平面内除原点外处处连续，\(v(x,y) = x^2 - y^2\) 在复平面内处处连续，故 \(f(z)\) 在复平面内除原点外处处连续。

定理四（连续函数运算）¶

在 \(z_0\) 连续的两个函数 \(f(z)\) 和 \(g(z)\) 的和、差、积、商（分母在 \(z_0\) 不为零）在 \(z_0\) 处仍连续
如果函数 \(h = g(z)\) 在 \(z_0\) 连续，函数 \(w = f(h)\) 在 \(h_0 = g(z_0)\) 连续，那么复合函数 \(w = f[g(z)]\) 在 \(z_0\) 处连续

例3：证明如果 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续，那么 \(\overline{f(z)}\) 在 \(z_0\) 也连续

证：设 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)，则 \(\overline{f(z)} = u(x,y) - iv(x,y)\)。

由 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续，知 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 处都连续，于是 \(u(x,y)\) 和 \(-v(x,y)\) 也在 \((x_0, y_0)\) 处连续，故 \(\overline{f(z)}\) 在 \(z_0\) 连续。

（三）导数（微分）¶

1. 导数的定义¶

设函数 \(w = f(z)\) 是在区域 \(B\) 上定义的 单值函数 ，即对于 \(B\) 上的每一个 \(z\) 值，有且只有一个 \(w\) 值与之对应。若在 \(B\) 上的某点 \(z\)，极限

\[ \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} \]

存在，并且与 \(\Delta z \to 0\) 的方式无关，则称函数 \(w = f(z)\) 在 \(z\) 点可导（或单演），此极限称为函数 \(f(z)\) 在 \(z\) 点的导数（或微商），记为：

\[ f'(z) = \left.\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\right|_{z=z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} \]

如果函数 \(f(z)\) 在区域 \(B\) 内每点（处处）可导，我们就称 \(f(z)\) 在区域内 \(B\) 可导。

例1：求 \(f(z) = z^2\) 的导数

解：

\[ f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{(z + \Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{z^2 + (\Delta z)^2 + 2z\Delta z - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0}(2z + \Delta z) = 2z \]

例2：讨论连续函数 \(f(z) = \operatorname{Im} z\) 的可导性

解：

\[ \frac{\Delta f}{\Delta z} = \frac{\operatorname{Im}(z + \Delta z) - \operatorname{Im} z}{\Delta z} = \frac{\operatorname{Im}\Delta z}{\Delta z} = \frac{\Delta y}{\Delta x + i\Delta y} \]

当点沿平行于实轴的方向（\(\Delta y = 0\)）趋于零时：极限 \(= 0\)
当点沿平行于虚轴的方向（\(\Delta x = 0\)）趋于零时：极限 \(= \frac{1}{i}\)

当点沿不同的方向使 \(\Delta z \to 0\) 时，极限值不同，故 \(f(z) = \operatorname{Im} z\) 在复平面上 处处不可导 。

2. 可导与连续¶

函数 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处可导则在 \(z_0\) 处一定连续，但函数 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处连续不一定在 \(z_0\) 处可导。

3. 求导法则¶

因为复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致，因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来 ：

\((c)' = 0\)，其中 \(c\) 为复常数
\((z^n)' = nz^{n-1}\)，其中 \(n\) 为正整数
\([f(z) \pm g(z)]' = f'(z) \pm g'(z)\)
\([f(z)g(z)]' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)\)
\(\left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]' = \frac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{g^2(z)} \quad (g(z) \neq 0)\)
\(\{f[g(z)]\}' = f'(w)g'(z)\)，其中 \(w = g(z)\)

4. 柯西—黎曼方程（复变函数可导必要条件）¶

可导：对任何方向的极限都存在并唯一。

实变数 \(f(x)\)：\(\Delta x\) 沿实轴逼近零
复变函数 \(f(z)\)：\(\Delta z\) 沿任一曲线逼近零

因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件 强得多 。

设 \(f(z)\) 在 \(z\) 点可导，分析 \(\Delta z\) 分别沿平行于实轴（\(\Delta y = 0\)）和平行于虚轴（\(\Delta x = 0\)）趋于零的特殊情况：

\(\Delta z\) 沿实轴 \(\to 0\)，\(\Delta y \equiv 0\) ：

\[ \lim_{\substack{\Delta z \to 0 \\ \Delta y = 0}} \frac{\Delta w}{\Delta z} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \]

\(\Delta z\) 沿虚轴 \(\to 0\)，\(\Delta x \equiv 0\) ：

\[ \lim_{\substack{\Delta z \to 0 \\ \Delta x = 0}} \frac{\Delta w}{\Delta z} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} \]

由于 \(f(z)\) 在 \(z\) 点可导，要求沿不同方向的极限相等，因此得到 柯西—黎曼方程 （C-R 条件）：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

导数表示

若 \(f(z)\) 可导，则 \(f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}\)

5. 复变函数可导的充分条件¶

可导的 充分条件 是：\(f(z)\) 的 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}\) 存在、连续，且满足柯西—黎曼方程。

证：由于偏导数连续，则二元函数 \(u\) 和 \(v\) 的增量可分别写为：

\[ \Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y + \varepsilon_1 \Delta x + \varepsilon_2 \Delta y \]

\[ \Delta v = \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y + \varepsilon_3 \Delta x + \varepsilon_4 \Delta y \]

随着 \(\Delta z \to 0\) 则 \(\varepsilon_i \to 0\)。利用柯西—黎曼方程，可以证明：

\[ \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta z} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \]

这一极限是与 \(\Delta z \to 0\) 的方式无关的有限值。

1.3 解析函数¶

（一）解析函数的概念¶

若函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 的某邻域内 处处可导 ，则称函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处解析；又若 \(f(z)\) 在区域 \(B\) 内的每一点解析，则称 \(f(z)\) 在区域 \(B\) 内是 解析函数 。

说明：

解析与可导不等价 ：函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然。但是在区域 \(B\) 内解析的函数则解析与可导等价
称函数的不解析点为奇点：\(f(z)\) 在点 \(z_0\) 无定义或无确定值；\(f(z)\) 在点 \(z_0\) 不连续；\(f(z)\) 在点 \(z_0\) 不可导；\(f(z)\) 在点 \(z_0\) 可导，但找不到在其内处处可导的邻域

解析函数的充分必要条件 ：设函数 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\) 在区域 \(B\) 内解析当且仅当：

实部和虚部在 \(B\) 内可导
实部和虚部在 \(B\) 内每一点满足柯西—黎曼条件

例1：判断下列函数在何处可导，在何处解析

(1) \(w = \bar{z}\) ：因为 \(u = x\)，\(v = -y\)，\(\frac{\partial u}{\partial x} = 1\)，\(\frac{\partial u}{\partial y} = 0\)，\(\frac{\partial v}{\partial x} = 0\)，\(\frac{\partial v}{\partial y} = -1\)。柯西-黎曼方程不满足，所以 \(w = \bar{z}\) 在复平面内 处处不可导，处处不解析 。

(2) \(f(z) = e^x(\cos y + i\sin y)\) ：因为 \(u = e^x \cos y\)，\(v = e^x \sin y\)，\(\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y\)，\(\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y\)，\(\frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y\)，\(\frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y\)。柯西-黎曼方程成立，偏导数连续，所以 \(f(z)\) 在复平面内 处处可导，处处解析 。且 \(f'(z) = e^x(\cos y + i\sin y) = f(z)\)。这个函数就是指数函数 \(e^z\)。

(3) \(w = z\operatorname{Re}(z) = x^2 + ixy\) ：\(u = x^2\)，\(v = xy\)，\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x\)，\(\frac{\partial u}{\partial y} = 0\)，\(\frac{\partial v}{\partial x} = y\)，\(\frac{\partial v}{\partial y} = x\)。偏导数处处连续，但仅当 \(x = y = 0\) 时满足柯西-黎曼方程，因而函数仅在 \(z = 0\) 可导，但在复平面内 任何地方都不解析 。

例：\(f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2\)

\(u(x,y) = x^2 + y^2\)，\(v(x,y) = 0\)。只在 \(z = 0\) 点可导，因而在复平面上处处不解析。

函数解析与可导、连续、极限的关系 ：

在区域内：解析 \(\Leftrightarrow\) 可导
在某点：解析 \(\Rightarrow\) 可导 \(\Rightarrow\) 连续 \(\Rightarrow\) 极限存在，反之均不一定成立

（二）解析函数与调和函数的关系¶

1. 调和函数与共轭调和函数概念¶

调和函数 ：如果二元函数 \(f(x,y)\) 在区域 \(B\) 内有二阶连续偏导数，而且满足 拉普拉斯 (Laplace) 方程 ：

\[ \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 \]

则称 \(f(x,y)\) 为区域 \(B\) 内的 调和函数 ，其中 \(\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\) 称为 拉普拉斯算符 。

共轭调和函数 ：若两实函数 \(u(x,y)\) 及 \(v(x,y)\) 均为区域 \(B\) 内的调和函数，且满足柯西—黎曼条件：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

则称 \(v\) 为 \(u\) 的 共轭调和函数 。（反过来一般不成立!）

2. 解析函数与调和函数之间的关系¶

任何在区域 \(B\) 内 解析的函数 \(f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)\)，其实部和虚部都是 \(B\) 内的调和函数，且虚部为实部的共轭调和函数。

证明：由柯西—黎曼方程 \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)，\(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)：

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]

\[ -\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right), \quad \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \]

3. 等值线的正交性¶

如函数 \(f(z) = u + iv\) 在区域 \(B\) 内解析，则两族曲线 \(u(x,y) = C_1\) 和 \(v(x,y) = C_2\) 是 \(B\) 上的两组 相互正交曲线 。

由柯西—黎曼方程：

\[ \nabla u \cdot \nabla v = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} = 0 \]

即两族曲线的梯度正交，因此两族曲线正交。

注意

如果在区域内任选两个调和函数 \(u(x,y)\)、\(v(x,y)\)，则函数 \(u + iv\) 在区域内 不一定 是解析函数。只有当 \(u\) 和 \(v\) 还满足相应的 C-R 条件，对应函数 \(u + iv\) 在区域内才解析（而 \(v + iu\) 却不一定解析）。

（三）解析函数的构建方法¶

由一个调和函数，利用柯西—黎曼条件可求出另一个与之共轭的调和函数，再由这一对共轭调和函数构建出一个解析函数。

注意

作此类题时，首先一定要 验证给定的函数是否是调和函数 。

具体方法有三种：

不定积分法
凑全微分法
曲线积分法

例2：已知 \(u(x,y) = x^2 - y^2 + xy\)，求解析函数 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)，并满足 \(f(0) = 0\)

验证调和性 ：\(u_x = 2x + y\)，\(u_y = x - 2y\)，\(u_{xx} = 2\)，\(u_{yy} = -2\)，\(u_{xx} + u_{yy} = 0\) ✓

方法一：不定积分法方法二：凑全微分法方法三：曲线积分法

由 C-R 条件得 \(v_y = u_x = 2x + y\)，所以

\[ v(x,y) = \int (2x + y)\mathrm{d}y = 2xy + \frac{1}{2}y^2 + \varphi(x) \]

由 C-R 条件得 \(u_y = x - 2y = -v_x = -2y - \varphi'(x)\)，从而 \(\varphi'(x) = -x\)，\(\varphi(x) = -\frac{1}{2}x^2 + c\)。

因此 \(v(x,y) = 2xy + \frac{y^2 - x^2}{2} + c\)。

由 \(f(0) = 0\) 得 \(c = 0\)，最后得 \(f(z) = (1 - \frac{1}{2}i)z^2\)。

由 C-R 条件得 \(v_y = 2x + y\)，\(v_x = 2y - x\)，因此

\[ \mathrm{d}v(x,y) = (2y - x)\mathrm{d}x + (2x + y)\mathrm{d}y \]

\[ = (-x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y) + (2y\mathrm{d}x + 2x\mathrm{d}y) = \mathrm{d}\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + 2xy\right) \]

因此 \(v(x,y) = -\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + 2xy + c\)。由 \(f(0) = 0\) 故得 \(f(z) = (1 - \frac{1}{2}i)z^2\)。

选积分路径 \((0,0) \to (x,0) \to (x,y)\)：

\[ v(x,y) = \int_{(0,0)}^{(x,y)} [(2y-x)\mathrm{d}x + (2x+y)\mathrm{d}y] + c \]

\[ = \int_0^x (2 \times 0 - x)\mathrm{d}x + \int_0^y (2x + y)\mathrm{d}y + c = -\frac{x^2}{2} + 2xy + \frac{y^2}{2} + c \]

由 \(f(0) = 0\) 故得 \(f(z) = (1 - \frac{1}{2}i)z^2\)。

（四）小结¶

任意两个调和函数 \(u\) 与 \(v\) 所构成的函数 \(u + iv\) 不一定是解析函数
满足柯西—黎曼方程 \(u_x = v_y\)，\(v_x = -u_y\) 的 \(v\) 称为 \(u\) 的共轭调和函数，\(u\) 与 \(v\) 的地位 不能颠倒
在区域内：解析 \(\Leftrightarrow\) 可导
在某点：解析 \(\Rightarrow\) 可导 \(\Rightarrow\) 连续 \(\Rightarrow\) 极限存在，反之均不一定成立

思考题

极限与路径的关系 ：设复变函数 \(f(z)\) 当 \(z \to z_0\) 时的极限存在，此极限值与 \(z\) 趋于 \(z_0\) 所采取的方式（选取的路径）有无关系？

答：没有关系。\(z\) 以任何方式趋于 \(z_0\)，极限值都是相同的。

用 C-R 条件判断解析时应注意什么？

首先判断 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在 \(D\) 内是否可微
其次再看是否满足 C-R 条件
最后判定 \(f(z)\) 的解析性