第一章复数与平面点集

重点：复数的各种表示方法（代数/三角/指数）、复数运算规则

难点：辐角主值的计算、复数开方运算

1.1 复数与复数运算¶

（一）复数的基本概念¶

1. 虚单位¶

为了解决方程 $x^2 = -1$ 在实数集中无解的问题，引入 虚单位 $i$，满足：

\[ i^2 = -1 \]

定义 1（复数）

对于任意实数 $x, y \in \mathbb{R}$，称 $z = x + iy$ 为复数，其中：

实部：$\text{Re } z = x$
虚部：$\text{Im } z = y$
纯虚数：当 $x = 0, y \neq 0$ 时，$z = iy$

复数集记为：$\mathbb{C} = \{z \mid z = x + iy, x, y \in \mathbb{R}\}$

复数相等

两复数相等当且仅当它们的 实部和虚部分别相等 ：

\[ x_1 + iy_1 = x_2 + iy_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2 \text{ 且 } y_1 = y_2 \]

重要结论

复数 不能比较大小（除非两个数都是实数）！

2. 复数的几何表示¶

笛卡尔坐标表示

复数 $z = x + iy$ 与有序实数对 $(x, y)$ 成一一对应，可以用复平面上的点或矢量表示：

横轴为实轴（$x$ 轴）
纵轴为虚轴（$y$ 轴）

复平面示意

极坐标表示

\[ z = \rho(\cos\phi + i\sin\phi) \]

其中：

模（绝对值）：$|z| = \rho = \sqrt{x^2 + y^2}$
辐角：$\phi$ 是以正实轴为始边、以表示 $z$ 的向量为终边的角

定义 2（辐角主值）

辐角是多值的：若 $\phi$ 是一个辐角，则全部辐角为

\[ \text{Arg } z = \phi + 2k\pi \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]

辐角主值 $\arg z$ 是满足 $-\pi < \phi \leq \pi$（或 $0 \leq \phi < 2\pi$）的那个值。

辐角主值计算公式

根据象限不同：

\[ \arg z = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x}, & x > 0 \text{（第一、四象限）} \\ \arctan\frac{y}{x} + \pi, & x < 0, y \geq 0 \text{（第二象限）} \\ \arctan\frac{y}{x} - \pi, & x < 0, y < 0 \text{（第三象限）} \\ \frac{\pi}{2}, & x = 0, y > 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & x = 0, y < 0 \end{cases} \]

指数表示式

定理 1（欧拉公式）

\[ e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi \]

由此，复数可表示为 指数形式 ：

\[ z = \rho e^{i\phi} \]

例 1：将复数化为三角形式和指数形式

(1) $z = 1 + i$

模：$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

辐角：$\arg z = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

三角形式：$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

指数形式：$z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

(2) $z = -1 + \sqrt{3}i$

模：$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$

辐角：$x < 0, y > 0$（第二象限），$\arg z = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$

三角形式：$z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$

指数形式：$z = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}$

（二）复数的运算规则¶

设 $z_1 = x_1 + iy_1 = \rho_1 e^{i\phi_1}$，$z_2 = x_2 + iy_2 = \rho_2 e^{i\phi_2}$

1. 加减法¶

代数形式：

\[ z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2) \]

几何意义：平行四边形法则或三角形法则

三角不等式

\[ |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|, \quad |z_1 - z_2| \geq ||z_1| - |z_2|| \]

2. 乘法¶

代数形式：

\[ z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1) \]

三角/指数形式：

\[ z_1 \cdot z_2 = \rho_1\rho_2[\cos(\phi_1+\phi_2) + i\sin(\phi_1+\phi_2)] = \rho_1\rho_2 e^{i(\phi_1+\phi_2)} \]

结论

两个复数相乘等于 模相乘，辐角相加 。

3. 除法¶

代数形式：

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2 + y_2^2} + i\frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2^2 + y_2^2} \]

三角/指数形式：

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}[\cos(\phi_1-\phi_2) + i\sin(\phi_1-\phi_2)] = \frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i(\phi_1-\phi_2)} \]

结论

两个复数相除等于 模相除，辐角相减 。

4. 乘幂与开方¶

乘幂（棣莫弗公式）

\[ z^n = \rho^n(\cos n\phi + i\sin n\phi) = \rho^n e^{in\phi} \]

开方

$z = \rho e^{i\phi}$ 的 $n$ 次方根有 $n$ 个不同的值：

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\phi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1 \]

开方的多值性

复数的 $n$ 次方根有 $n$ 个不同的值，在复平面上均匀分布在以原点为中心、半径为 $\sqrt[n]{\rho}$ 的圆周上。

例 2：求 $\sqrt[3]{-1}$

解：$-1 = e^{i\pi}$

\[ \sqrt[3]{-1} = e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{3}}, \quad k = 0, 1, 2 \]

三个根分别为：

$k=0$：$w_0 = e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$
$k=1$：$w_1 = e^{i\pi} = -1$
$k=2$：$w_2 = e^{i\frac{5\pi}{3}} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

5. 共轭复数¶

定义 3（共轭复数）

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为 共轭复数 。

记法：若 $z = x + iy$，则 $\bar{z} = x - iy$

共轭复数的性质

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2$
$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$
$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}$
$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$
$z + \bar{z} = 2\text{Re }z$，$z - \bar{z} = 2i\text{Im }z$
$\bar{\bar{z}} = z$

例 3：利用共轭复数证明三角不等式

证明：$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

证：

\[ \begin{aligned} |z_1 + z_2|^2 &= (z_1 + z_2)(\bar{z}_1 + \bar{z}_2) \\ &= z_1\bar{z}_1 + z_2\bar{z}_2 + z_1\bar{z}_2 + \bar{z}_1z_2 \\ &= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2) \\ &\leq |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1\bar{z}_2| \\ &= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \\ &= (|z_1| + |z_2|)^2 \end{aligned} \]

两边开方即得 $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$。 $$\square$$

运算提示

复数相乘用极坐标/指数形式更容易
复数相加用笛卡尔坐标形式更容易

1.2 平面点集¶

（一）区域的概念¶

1. 邻域¶

定义 4（邻域）

邻域：由不等式 $|z - z_0| < \delta$ 确定的点集，即以 $z_0$ 为中心、$\delta$ 为半径的开圆盘
去心邻域：由 $0 < |z - z_0| < \delta$ 确定的点集（不包含中心 $z_0$）

2. 点集分类¶

设 $E$ 为复平面上的点集：

类型	定义
内点	存在邻域完全属于 $E$
外点	存在邻域完全不属于 $E$
边界点	任意邻域内既有属于 $E$ 的点也有不属于 $E$ 的点
开集	所有点都是内点的点集
连通	$E$ 内任意两点可用完全属于 $E$ 的折线连接

定义 5（区域）

满足以下两个条件的点集 $D$ 称为区域：

$D$ 是开集
$D$ 是连通的

闭区域：$\bar{D} = D + C$，其中 $C$ 是 $D$ 的边界

3. 单连通域与多连通域¶

定义 6（单连通域与多连通域）

单连通域：区域内任意简单闭曲线的内部总属于该区域（没有"洞"）
多连通域：不是单连通的区域（有"洞"的区域）

单连通与多连通示意

例 4：指明下列不等式所确定的区域

(1) $\text{Re}(z^2) \leq 1$

设 $z = x + iy$，则 $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$，故 $\text{Re}(z^2) = x^2 - y^2 \leq 1$。

即 $x^2 - y^2 \leq 1$，表示 双曲线外部区域（包含边界），是 无界的单连通域 。

(2) $\frac{\pi}{3} < \arg z < \frac{2\pi}{3}$

表示从原点出发，辐角在 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{2\pi}{3}$ 之间的 角形域，是 无界的单连通域 。

(3) $\frac{1}{3} < |z| < 3$

表示内半径为 $\frac{1}{3}$、外半径为 $3$ 的 圆环域，是 有界的多连通域 。

(4) $|z - 1| + |z + 1| < 4$

根据椭圆定义，到两定点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 距离之和小于 $4$ 的点构成 椭圆内部，是 有界的单连通域 。

小结¶

核心概念¶

核心概念速查

复数的三种形式： $z = x + iy = \rho(\cos\phi + i\sin\phi) = \rho e^{i\phi}$。
模：$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \rho$。
辐角：常记为 $\phi$，满足 $\tan\phi = \dfrac{y}{x}$（需结合象限判断）。
共轭复数：$\bar{z} = x - iy = \rho(\cos\phi - i\sin\phi) = \rho e^{-i\phi}$。

运算规则¶

运算规则速查

加法：$(x_1+x_2) + i(y_1+y_2)$，几何上对应平行四边形法则。
乘法：$(x_1x_2-y_1y_2) + i(x_1y_2+x_2y_1)$；模相乘、辐角相加。
除法：$\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}$；模相除、辐角相减。
$n$ 次幂：模变为 $\rho^n$，辐角变为 $n\phi$。
$n$ 次方根：模变为 $\sqrt[n]{\rho}$，辐角为 $\dfrac{\phi+2k\pi}{n}$。

区域分类¶

区域分类速查

开集：所有点都是内点，如 $|z| < 1$。
区域：开集且连通，如上半平面 $\text{Im}(z) > 0$。
单连通域：没有“洞”，如单位圆内部、角形域。
多连通域：存在“洞”，如圆环 $\dfrac{1}{2} < |z| < 1$。
有界区域：可被某个圆包含，如 $|z| < R$。
无界区域：不能被任何圆包含，如上半平面。

重要公式¶

欧拉公式：

\[ e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi \]

棣莫弗公式：

\[ (\cos\phi + i\sin\phi)^n = \cos n\phi + i\sin n\phi \]

记忆口诀

乘除：模相乘除，辐角相加减
开方：模开方，辐角加 $2k\pi$ 再除以 $n$
区域：开集连通是区域，无洞单连通有洞多连通

补充：常用公式¶

复数与实数的关系¶

\[ z = \text{Re } z + i\text{Im } z, \quad \bar{z} = \text{Re } z - i\text{Im } z \]

\[ \text{Re } z = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \text{Im } z = \frac{z - \bar{z}}{2i} \]

特殊值¶

表达式	结果
$e^{i\cdot 0}$	$1$
$e^{i\frac{\pi}{2}}$	$i$
$e^{i\pi}$	$-1$
$e^{i\frac{3\pi}{2}}$	$-i$
$e^{i\cdot 2\pi}$	$1$

单位根¶

方程 $z^n = 1$ 的 $n$ 个根为：

\[ z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1 \]

表达式	结果
\(e^{i\cdot 0}\)	\(1\)
\(e^{i\frac{\pi}{2}}\)	\(i\)
\(e^{i\pi}\)	\(-1\)
\(e^{i\frac{3\pi}{2}}\)	\(-i\)
\(e^{i\cdot 2\pi}\)	\(1\)

类型	定义
内点	存在邻域完全属于 \(E\)
外点	存在邻域完全不属于 \(E\)
边界点	任意邻域内既有属于 \(E\) 的点也有不属于 \(E\) 的点
开集	所有点都是内点的点集
连通	\(E\) 内任意两点可用完全属于 \(E\) 的折线连接