利用 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)，将复积分拆为实部和虚部两个实曲线积分，再用 格林公式 化为面积分，最后利用 柯西—黎曼方程 证明被积函数为零。

由格林公式和 C-R 条件 \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)，\(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)，两部分均为零。

1. 割线构造

设 \(l\) 为外边界（逆时针），\(l_1\) 为内边界（包围奇点）。在 \(l\) 和 \(l_1\) 之间作一条光滑 割线 \(AB\)，连接外边界上一点 \(A\) 到内边界上一点 \(B\)。

2. 转化为单连通域

割线将复连通域的边界变为一条简单闭曲线：

其中 \(-l_1\) 表示 \(l_1\) 的反向（顺时针）。新区域是以 \(\Gamma\) 为边界的单连通域。

3. 应用单连通域柯西定理

由于 \(f(z)\) 在割线后的区域内解析，由单连通域柯西定理：

将 \(\Gamma\) 分解为各段积分： $$ \oint_\Gamma f(z)\,\mathrm{d}z = \oint_l f(z)\,\mathrm{d}z + \int_{\overrightarrow{AB}} f(z)\,\mathrm{d}z + \oint_{-l_1} f(z)\,\mathrm{d}z + \int_{\overrightarrow{BA}} f(z)\,\mathrm{d}z $$

4. 割线积分相消

注意到 \(\overrightarrow{BA}\) 是 \(\overrightarrow{AB}\) 的反向路径，因此： $$ \int_{\overrightarrow{AB}} f(z)\,\mathrm{d}z + \int_{\overrightarrow{BA}} f(z)\,\mathrm{d}z = 0 $$

同时 \(\oint_{-l_1} f(z)\,\mathrm{d}z = -\oint_{l_1} f(z)\,\mathrm{d}z\)（反向积分变号）。

5. 得到结论

代入得： $$ \oint_l f(z)\,\mathrm{d}z - \oint_{l_1} f(z)\,\mathrm{d}z = 0 $$

即： $$ \oint_l f(z)\,\mathrm{d}z = \oint_{l_1} f(z)\,\mathrm{d}z $$

证毕。

设 \(z\) 为 \(B\) 内任一点，以 \(z\) 为中心作一含于 \(B\) 内的邻域 \(C_R\)，取 \(|\Delta z|\) 充分小使 \(z + \Delta z\) 在 \(C_R\) 内。

因为 \(f(z)\Delta z = \int_z^{z+\Delta z} f(z)\mathrm{d}\zeta\)，所以

由 \(f(z)\) 在 \(B\) 内连续，\(|f(\zeta) - f(z)| < \varepsilon\)，故上式模 \(\le \varepsilon\)，令 \(\Delta z \to 0\) 即得 \(F'(z) = f(z)\)。

此定理与数学分析中对变上限积分的求导定理完全类似。

由闭路变形原理，将 \(l\) 上的积分变为以 \(\alpha\) 为中心、半径为 \(\rho\) 的小圆 \(C_\varepsilon\) 上的积分：

第一项中 \(f(\alpha)\) 为常数，即为例 3 中 \(n=0\) 的情形，故 \(\displaystyle\oint_{C_\varepsilon} \frac{f(\alpha)}{z-\alpha}\mathrm{d}z = f(\alpha) \cdot 2\pi i\)。

第二项为何趋于零 ：被积函数在 \(z = \alpha\) 处原先形如 \(\frac{0}{0}\)，直接代入无意义；把分子写成 \(f(z) - f(\alpha)\) 后，剩下的正是 连续性与小圆上的积分估计 。

设 \(C_\varepsilon\) 的半径为 \(\rho\)，\(z\) 在 \(C_\varepsilon\) 上时恒有 \(|z - \alpha| = \rho\)。由 \(f(z)\) 在 \(\alpha\) 处连续：对任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，只要 \(\rho\) 取得足够小，当 \(z\) 在 \(C_\varepsilon\) 上时就有 \(|f(z) - f(\alpha)| < \varepsilon\)。于是

注意：分子变小（\(\varepsilon\)）的同时分母也是 \(\rho\) 量级，两者 相除后 在圆周上被 \(\varepsilon/\rho\) 控制；再用 积分估计不等式 （ML 不等式）：闭路长为 \(2\pi\rho\)，故

半径 \(\rho\) 在分子分母中 恰好相消 ，估计中不再含 \(\rho\)：对 每一个 事先给定的 \(\varepsilon\)，只要把圆取得足够小，第二项的模就不超过 \(2\pi\varepsilon\)。由于 \(\varepsilon\) 任意，第二项只能为 \(0\)。

合起来得 \(\displaystyle\oint_l \frac{f(z)}{z-\alpha}\mathrm{d}z = 2\pi i f(\alpha)\)。

步骤 1：构造复连通区域

以原点 \(O\) 为圆心作大圆周 \(C_R\)，半径为 \(R\)，使其包含闭曲线 \(l\) 和点 \(z\)。由于 \(f(z)\) 在 \(l\) 外部解析，故在 \(l\) 与 \(C_R\) 构成的复连通区域内，由复连通区域的柯西积分公式得：

步骤 2：分析第二个积分

由于 \(f(z)\) 在无穷远处连续，即任给 \(\varepsilon > 0\)，总可以找到以 \(O\) 为中心、半径为 \(R_1\) 的圆，使得当 \(|z| > R_1\) 时，\(|f(z) - f(\infty)| < \varepsilon\)，其中 \(f(\infty)\) 有界。

考虑积分 \(\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_R} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\mathrm{d}\zeta\) 与 \(f(\infty)\) 的差：

步骤 3：估计积分

在 \(C_R\) 上，\(|\zeta| = R\)，且 \(z\) 在 \(C_R\) 内部，故 \(|\zeta - z| \ge R - |z|\)。因此：

步骤 4：取极限

对于有限远点 \(z\)，显然 \(\displaystyle\lim_{R \to \infty}\frac{|z|}{R} = 0\)，从而：

即： $$ \lim_{R \to \infty}\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_R} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\mathrm{d}\zeta = f(\infty) $$

步骤 5：得到结论

令 \(R \to \infty\)，代入步骤 1 的公式即得： $$ f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_l \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\mathrm{d}\zeta + f(\infty) $$

证毕。

说明：特别地，当 \(|z| \to \infty\) 时 \(f(z) \to 0\)，即 \(f(\infty) = 0\)，则有特殊形式 $$ f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_l \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\mathrm{d}\zeta $$