音乐与数学期末复习

课程信息

课程：音乐与数学

教师：王杰，毕明辉（音乐专题）

分数占比：
- 20%：平时作业（4次，课程网站提交，祖传题）
- 30%：小组研究题（数学，物理，CS，文科）
- 50%：期末闭卷考试

1 考试 Tips¶

神秘数字 42433——看到节奏奇性直接选这个。
五度圆周 FCGDAEB
- C D E
- F G A B
自然大调和它的关系小调满足调号完全相同（也就是音阶完全相同，只是主音不同）。
所以五度圆周上可以从自然大调位置推出自然小调位置。
也可以把自然大调音阶写出来，下属音（VI音）就是关系小调的主音。
音乐会音高：A4，440 Hz。
助教习题课：二分音符只有 p 和 d，不要搞出 q；临时调号写在符头前面。
单声部音乐：一个声部，一条单独的旋律线。

多声部音乐：至少两个声部；又分为：
- 主调音乐：一个声部为主要旋律，其他声部主要起伴奏、烘托的作用。
  
  答案是 D。
- 复调音乐：不同声部具有各自的相对独立性，按照 对位法 结合在一起。
- 巴赫写了"赋格"这一音乐形式。赋格是（一种多声部音乐，有严格的对位法则）。
纯律生律元素：纯五度 3:2，大三度 5:4；可以以此推纯四度（八度你也知道），小三度。

答案是 $x/2$。
三分损益和五度相生都只有理想的纯五度和纯四度；纯律有两种不同的大二度（全音），但是大三度的距离是一致的。
律学会做这题就问题不大：

答案是 D。
- 三分损益：先乘 3/2，然后 ¾，交替（频率和弦长成反比）。
- 五度相生：一直乘 3/2，大于 2 的话除以 2。
- 上面这两个是一样的。
- 纯律：C-E 是大三度，对应生律元素 5/4。
- 十二平均律：喜欢我手开根号吗（记住纯五度是 702 音分，$1200\log_2{\frac{3}{2}}$ 约等于 $702$）。
三分损益和五度相生：从C上推：上下上下上下下上下上下上；从C下推：下上下上下上上下上下上下。
无论是自然小调、和声小调还是旋律小调，它们在乐谱开头所使用的 调号完全相同。

调号的作用是定义一个"调性框架"。因为和声小调只是在自然小调的基础上，为了和声需要临时升高了第 VII 级音，这种变化被视为 临时变音，而不是调性的根本改变。
1. 自然小调：乐谱中除了调号规定的升降号外，通常没有额外的临时升降号。
2. 和声小调：虽然调号和自然小调一样，但在正文音符中，你会看到 第 VII 级音 前面总有一个 临时升降号（使其升高半音）。
选 B。
自然大调和自然小调在五度圈（五度圆周）上的位置一样，都是一个半圆（包括 7 个音），半圆顺时针第二个音是大调（小调）的主音。
选 B，C 错在和弦转位之后根音是不变的，只是低音变了。（所以要看仔细）
1. A 是三和弦，F
2. T
3. F 请注意题目中的所有变音记号 如果 A 延音线前面那个音没有还原号，那就是对的
4. F，D 是增大七和弦
5. T
选 B。

不同移调变换得到的音列，和对每个移调变换得到音列进行倒影变换得到的音列是两两不同的，这样就至少有 24 条互不相同的音列。我们又知道 $P_0$ 在 48 阶群 $\mathscr{M}$ 的作用下至多得到 48 个互不相同的音列，这些音列构成 $P_0$ 在 $\mathscr{M}$ 作用下的轨道，如果少于 48 个，说明 $\exists g \in \mathscr{M}, \space g(P_0) = P_0$，也就是说 $P_0$ 的稳定化子 $|G_{P_0}| \neq 1$，而根据 $|\mathscr{M}| = |Orb(P_0)|\cdot|G_{P_0}|$，可知 $|Orb(P_0)| = 48 / |G_{P_0}|$，$|Orb(P_0)|$ 最小是 24，也只能是 24，因为 $|G_{P_0}|$ 一定是正整数。
$P = R * (L * R)^{3} = R * L * R * L * R * L * R.$
$P,R,L$ 把大三和弦变成小三和弦，小三和弦变成大三和弦。
记 $I$ 为恒等变换，则显然有 $P * P = R * R = L * L = I$，也就是说 $P,R,L$ 本身就是其在群 $\mathscr{N} = \langle P,R,L \rangle$ 中的逆元。

由音网相关知识有 $P * R * L * P * R * L = I$，所以有 $P * R * L = L * R * P$ （在音网上看，$P * R * L$ 和 $L * R * P$ 恰好是一个六边形上一对对角线上顶点之间的两条最短路径。注意音网是无向图（DAG））

所以 D 是对的；C 是错的，因为偶数次变换后仍然是大三和弦；B 显然是错的，因为 P 是把以 x 为根音的大三和弦和小三和弦互换，根音确定的情况下在同一个自然大调音阶上三音和五音也是确定的。
一眼选 B，秒了。A 记一下有助于保持和声听感的连贯性，C 的话画个音类圆周变一下就知道是对的了，~~知道 B 错误的情况下，如果考试的时候很闲可以画一下~~。
音列矩阵怎么画？第一行是初始音列，第一列是初始音列的倒影音列，然后每一行根据移调变换填空即可。
$L_p=20\log_{10}\frac{p}{p_0}$
$f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho}}$
$1200\log_2(\frac{f_2}{f_1})$
纯律有两种大二度：9 : 8 和 10 : 9。
白噪声的功率谱随频率轴的变化满足（功率谱密度为常数）。
功率谱密度反比于频率的声音称为（粉噪声）。
巴赫动机的音类集合：{B,C,A,♭B}。

2 音乐专题¶

舒伯特《魔王》……调性与情绪。 Lieder Erlkoenig 调性和弦。
《卖报歌》……五声音阶。
1=bB：绝对音律。
大小调：停在6：小调。
四大声腔：海盐腔、弋阳腔、余姚腔、昆山腔（四个戏曲剧种之合称）。
调对结构的作用：主调是出现最多的。

例：贝多芬《第五钢琴协奏曲》第三乐章：bE-bB-bE-C-bA-E-e-bE。
属：上五度，下属：下五度。
《今夜无人入睡》男高音。
欣赏音乐四大能力：联觉、想象、通感、移情。

欣赏方法（过程）：泛听精听赏听鉴听。
京剧之前……秦腔。
世界音乐分类：古典、流行、民间。
Enya。
acappella VBB（voice, beating, bass line）。

ex: Pentatonix "Daft Punk"。
法国长笛乐派由演奏家米歇尔·布拉维开创（名字最长）。
Aratos 三重奏演奏的西藏舞曲（tibet dancing）由盛宗亮作曲。
纯律由扎利诺提出。

贝多芬 Fate Symphony 1804-1808¶

《命运交响曲》（课上完整带着讲了）：

四个音作为一个细胞来组成，通过转调等手法使之展现残暴 or 光明。
残暴的命运；与之斗争的自己。
残暴命运（一）-> 思索人生（二）-> 正面交锋（三、四）。

3 导论：音乐与数学¶

3.1 节拍¶

拍子是一段音乐中的基本律动。
若干拍子按照一定的强弱规律组合形成节拍。
常见的节拍有 二拍子，三拍子，四拍子和六拍子 等。
构成节拍的一组拍子循环出现，每次循环构成一个小节。
乐谱中用 小节线 来标记一个小节的结束。

拍号¶

节拍通常用拍号来表示。
2/4：四分音符为一拍，每小节两拍；"强，弱"。
¾：四分音符为一拍，每小节三拍；"强，弱，弱"。
4/4：四分音符为一拍，每小节四拍；"强，弱，次强，弱"。
6/8：八分音符为一拍，每小节六拍；"强，弱，弱，次强，弱，弱"。
二拍子、三拍子通常称作 单拍子，由 相同的 单拍子结合而成的拍子称作 复拍子。
单拍子：每一小节 只有一个强拍。
结构：强 + 弱（或强 + 弱 + 弱）。

常见类型¶

单二拍子：每小节两拍。例如 2/4（强，弱），2/2，2/8。
单三拍子：每小节三拍。例如 ¾（强，弱，弱），⅜，3/2。
复拍子：由两个或两个以上相同的单拍子组合而成的拍子。
结构：包含一个"强拍"和一个或多个"次强拍"。
组合逻辑：它是同类单拍子的叠加。例如，两个 2/4 拍组合在一起就变成了 4/4 拍。

常见复拍子类型¶

复二拍子：由两个相同的单拍子组成。例如 4/4（两个 2/4 组成，"强，弱，次强，弱"），6/8（两个 ⅜ 组成，"强，弱，弱，次强，弱，弱"）。
复三拍子：由三个相同的单拍子组成。例如 9/8（三个 ⅜）。
复四拍子：由四个相同的单拍子组成。例如 12/8（四个 ⅜）。
素数拍只能是单拍子。

3.2 节奏¶

对比：节拍是若干拍子按照一定的 强弱规律 形成的组合。
节奏：由音符的不同时值组合构成的模式。

节奏的表示法¶

忽略旋律的变化，只观察时间维度：拍号为 2/4，即以四分音符为一拍，每小节有两拍。时值最短的是十六分休止符和十六分音符，以十六分音符的长度作为时间单位，则一个小节分成 8 个时间单位。基于上述分析，就抽象出没有音高（pitch）的节奏型。
为了对节奏型进行定性分析和定量的研究，需要把乐谱形式转化为其他表达形式。
"长条方格"表示（见课件，每个小方格代表一拍，标有圆点的小方格代表的是发声的起拍）。
圆周表示（就是把长条方格首尾相连）。

固定节奏型（rhythmic ostinato）¶

固定节奏型是在乐曲中无变化地反复出现，贯穿始终的节奏模式。
例：《哈巴涅拉》《古巴颂》。

极大均衡原则¶

在所有的拍上，要将起拍尽可能地均匀分布。

节奏奇性¶

在节奏型的圆周表示中，把每个起拍所对应的点与其 对径点 连接起来。
不包含对径的起拍对的节奏型具有节奏奇性（即起拍的对径点都不是起拍）。

节奏型的度量特征¶

在节奏型中，由相邻起拍点之间的距离构成的序列称作该节奏的 距离序列。
这些距离反映了相邻起拍之间的时间间隔的 绝对长度。
相比绝对长度，人耳对 相对变化 更为敏感（[3,3,4,2,4] 和 [2,2,3,2,3] 听起来差不多）。
轮廓：用 + - 0 来表明距离序列中相邻两项的相对变化。
- [3,3,4,2,4] $\rightarrow$ [0,+,-,+,-]，节奏型是反复出现的，所以最后一个距离 4 要与第一个距离 3 作比较。
- 上面这个序列称为颂乐节奏型的 轮廓（contour）。
- Fume-fume 节奏型的距离序列为 [2,2,3,2,3]，故其轮廓也等于 [0,+,-,+,-]。

轮廓同构¶

节奏型 A 和 B 称作是 轮廓同构的（contour isomorphic），如果 B 的轮廓序列可以经过 循环移位 得到 A 的轮廓序列。
古巴颂乐和 Fume-fume 的节奏型是轮廓同构的。

影子¶

各个起拍之间的间隔中点形成一个与发声的节奏型对偶的节奏，称作原来节奏型的 影子（shadow）。
影子节奏的拍点位置可能不在原来节奏的拍点上，而是位于两个拍点中间。

4 音乐基础知识¶

4.1 声音的物理属性¶

音乐：凭借声波振动而存在、在时间中展现、通过人类的听觉器官而引起各种情绪反应和情感体验的艺术门类。
声音（sound）是音乐的载体，它是由振动产生的。物体振动引起周围空气的疏密变化，形成声波。声波是纵波（longitudinal wave），即"质点的振动方向与传播方向平行的波"。
声音的四个物理属性：
音乐会音高（concert pitch）：中央 C 上方的 A，定义为 440 Hz。
音高：位置理论（耳蜗不同部分），时间理论（每个神经元再振动的固定相位处放电，锁相）。
声压：听力下限阈值：$20\mu Pa = 20 \times 10^{-5}Pa$，人耳对声音强弱的感觉不是线性的，用 声压水平（SPL） 来度量，定义为：

\[L_p=20\log_{10}\frac{p}{p_0}\]

$p_0$ 是 $1000Hz$ 时的听觉下限阈值（$20\mu Pa$），$p$ 是实际声压。这样定义的声压水平，单位是 分贝（decibel，dB）。人耳对不同频率有不同的声音阈值。
音色与波形
- 不同的音色在直观上表现为不同的 振动波形，它是由各个 振动模态 中的频率和振幅决定的。
- 振幅包络 ADSR：起音，衰减，持续，释放。
频谱图与泛音列
- 描述声音的 各个频率成分 随时间变化的图形称作 频谱图。
- 把声音的各个 频率成分从高到低 排列起来形成的序列称作 泛音列（overtone series，harmonic series）。
- 傅里叶分析：复杂周期函数可以用若干简单正弦函数和余弦函数叠加产生。
- 振动函数随时间变化：振动在时域上的特性；振动在不同频率上的振幅描绘出来：频域上的特征（两个不同维度的视角）。

4.2 乐音体系¶

乐音体系：音乐中使用的具有固定音高的全体乐音构成的集合。
其中元素称作音级。
全体音级从低到高排列起来，得到音列。
音列中相邻两个音级之间相差一个 半音（semitone）。
在钢琴键盘上，任意两个相邻的琴键（包括白键和黑键）发出的声音都相差一个半音，隔开一个键的两个琴键发出的声音都相差一个 全音（whole tone）。
每个音级有一个名字，称为 音名（pitch name）。基本的音名只有 7 个，就是 $C,D,E,F,G,A,B$。
在每一个 八度（octave） 中，相应位置的音循环重复使用这 7 个音名，这就产生了重名的音。为了区别不同八度之间同名的音，给音名加上下标，以示区别：$C_1,C_2,\dots,C_7,C_8$。
变音记号 $\rightarrow$ 变化音级。
等音的/异名同音（E 与 bF）。
唱名法/阶名唱法
- 固定唱名法
- 首调唱名法
记谱法
- 最早的乐谱《碣石调幽兰》。
- 全休止符黑框贴四线，二分休止符黑框贴三线。
- 高音谱号（G谱号）大圆圈位于二线，指明中央C上方纯五度音级 $G_4$ 的位置。
- 中音谱号（C谱号）中心位于三线，指明中央C位置。（也有将其中心置于四线的，称为次中音谱号）。
- 低音谱号（F谱号）冒号中心位于四线，指明中央C下方纯五度音级 $F_3$ 的位置。
- 变音记号：调号——每一行开始处谱号后面的变音记号；在未改变调号之前，对乐谱中所有同名音，不论哪个八度都有效。
- 临时变音记号：记在音符符头前面的变音记号 乐谱题尤其需要注意！
  - 作用范围为变音记号之后，一小节之内，同高度的音。
  - 加变音记号的音用延音线连结起来到下一小节的继续有效 注意！！！
  - 同一小节内已升高或降低了的音有改变时，应另记变音记号。

4.3 音程¶

乐音体系中，两个音级之间的距离称为音程，高的音称为 上方音（冠音），低的音称为 下方音（根音）。
音程中的两个音可以先后发声，称为 旋律音程；也可以同时发声，称为 和声音程。
音程的名称由两个参数共同确定：度数和 半音数。

音程名称	纯律频率比	十二平均律近似值（频率比）	音程度数	半音数
纯一度	1:1	1.000	同度	0
小二度（半音）	16:15	1.059	二度	1
大二度（全音）	9:8	1.122	二度	2
小三度	6:5	1.189	三度	3
大三度	5:4	1.260	三度	4
纯四度	4:3	1.335	四度	5
增四度 / 减五度	45:32	1.414（√2）	四度 / 五度	6
纯五度	3:2	1.498	五度	7
小六度	8:5	1.587	六度	8
大六度	5:3	1.682	六度	9
小七度	9:5	1.782	七度	10
大七度	15:8	1.888	七度	11
纯八度	2:1	2.000	八度	12

上面的音程统称为 自然音程，可以在白键上得到。
从自然音程出发，改变其半音数，可以得到 变化音程。

4.4 协和音程与不协和音程¶

通常认为：纯四度、纯五度和纯八度音程以及大小三度、大小六度音程属于 协和音程（consonant interval）；二度、七度音程和其他所有增、减音程都属于 不协和音程（dissonant interval）。
在协和音程中，三度和六度音程与纯音程有很大不同，所以进一步把协和音程分为完全协和音程（纯音程）和不完全协和音程（大小三度、大小六度音程）。
音程的协和理论
- 毕达哥拉斯：长短成简单整数比（两个声音的振动频率之比越简单，相应的音程就越协和）。
- 赫尔姆霍兹：拍音理论：频率为 $\omega_1,\omega_2$ 的两个声音叠加，每秒产生拍音数 $\delta = |\omega_1 - \omega_2|$；赫尔姆霍兹认为两个音之间不含拍音的为协和音程，含有拍音的为不协和音程。实际中每秒少于 $6$ 个拍音或者多于 $120$ 个拍音的也算作协和音程，而每秒含 $33$ 个拍音的音程最不协和。
长征组歌，使用大二度。
音乐是关于量与量之间的关系（"相对"）（普罗克鲁斯，希腊），但也有绝对量（tempo）。

5 弦外之音¶

5.1 一维振动方程¶

二阶偏微分方程（pde）$u(t)$（只需了解）。
一维振动方程

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\quad c = \sqrt{T/p}\]
边值条件 $u(0, t) = u(L, t) = 0, \quad \forall t \geq 0$。
分离变量法解方程。
解为无穷级数

\[u(x, t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty u_n(x, t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty (a_n \cos{(\frac{n \pi c}{L}t)} + b_n \sin{(\frac{n \pi c}{L}t)})\sin{(\frac{n\pi}{L}x)}\]

5.2 振动模态与泛音¶

弦的振动并非简单的单一频率运动，而是无穷多个正弦振动的叠加。
对于 $n = 1,2, \dots,$

\[u_n(x,t) = \sqrt{a_n^2+b_n^2}\sin(\omega_nt + \theta_n)\sin(\frac{n \pi}{L}x)\]

称为弦振动的第 $n$ 个 振动模态（mode of vibration），其中 $\omega_n = \frac{n\pi c}{L}$。
$u_n(x, t)$ 的振动频率

\[f_n = \frac{n}{2L}c = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho}},\qquad n =1,2,3,\dots\]
Mersenne定律 当 $n = 1$ 时，$u_1(x,t)$ 的振动频率

\[f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho}}\]

$T$ 为张力，$\rho$ 为线密度，$L$ 为长度。
$f_1$（基音），$f_2$（第一泛音，后面都叫泛音），$f_3$（第二泛音），$\dots$ 称为弦的 固有频率，通常把序列称为 泛音列。
赫尔姆霍兹：协和泛音列重合理论。

5.3 拨弦与傅里叶级数¶

建模：拨弦的傅里叶级数（了解），各振动模态的频率为 $(2k + 1)c/2L$，全是基频 $c/2L$ 的奇数倍。
只有对应于奇数的频率 $f_1, f_3, f_5, \dots$ 才会出现。
几何解释：当在 L/2 处释放弦以后，弦的振动应该始终保持关于 L/2 对称。当 n 为奇数时，振动波形都是关于 L/2 对称的，而当 n 为偶数时，相应的波形都是关于 L/2 反对称的，因而是不可能出现的。

5.4 空穴来风——管乐器¶

端口校正：两端固定的弦满足 $u(0, t) = u(L, t) = 0, \forall t \geq 0$。而振动的空气柱会超出管的端口，故须对其音高（频率）进行 端口校正（end correction）。
开管：两端是波腹 $\lambda_n = \frac{2L}{n}$，（$f,2f,3f,\dots$），例子：长笛。
闭管：一端是波节 $\frac{4L}{2n - 1}$，只有偶次泛音（$f,3f,5f,7f,\dots$），例子：单簧管。
计算基频：$f_1 = v/\lambda_1$。
overblow 超吹：吹泛音。

6 乐音体系的生成（律学）¶

考试重点!!!

6.1 律学要解决的问题¶

确定 绝对音高（absolute pitch），就是要确定每个音级所对应的振动频率。
确定同一个八度内不同音级的 相对音高（relative pitch）。

6.2 三分损益¶

三分损益（管仲）掌握三分损益法产生宫、商、角、变徵、徵、羽、变宫七声音阶的过程和计算方法。

注意

注意，这里增损的是弦长（管长）而不是频率（~~虽然倒过来就是了~~）。
由于音高与弦长、管长都成反比，五音按从低到高排列是：

徵（108），羽（96），宫（81），商（72），角（64）
- "徵-宫"：81/108 = 3:4，纯四度
- "宫-高八度的徵"：54/81 = 2:3，纯五度
十二律
- 为什么得到蕤宾后没有按照次序进行下生，而是上升大吕？
  
  为了让所有的律管长度都保持在接近黄钟的范围内（即维持在一个八度左右），必须改为 上生（益），让管长增加，使音调降下来，回到基准音程内。
旋宫不归：#E 三分损一得到的频率是 C 的 1.01（$2^{19}/3^{12}$）倍，这说明对仲吕再做三分损一，得到的音会比"清宫" C′ 略高一点，形成了"旋宫不归"的问题。

6.3 五度相生¶

毕达哥拉斯，3:2 为生律元素，每次乘 3/2，如果超过 8 度（大于 2）就除以 2。

提示

上图是向上方向的五度相生，同理也有向下方向的五度相生，即从 C 开始

\[\dots \leftarrow bB \stackrel{4/3}{\leftarrow} F \stackrel{2/3}{\leftarrow} C\]
毕达哥拉斯音差：
- 在得到 #E 后，继续考虑其上方纯五度音的频率 $3^{11}/2^{17} \times 3/2 = 3^{12}/2^{18} > 2$，将其降低一个八度，得到 $3^{12} / 2^{19} = (3/2)^{12}\cdot(1/2)^7 > 1$，按照现代律制，#E 上方五度应该是 #B，它与高八度的 C' 是等音的。把这个音级降低八度，就应该得到起始音级 C。
- $(3/2)^{12}\cdot(1/2)^7$ 在音乐上的含义是从 C 出发做 12 次上方纯五度，再连续降低 7 个八度。一个纯五度有 7 个半音，一个八度有 12 个半音，所以应该回到出发点 C。但是按照毕达哥拉斯五度相生律，最终只能回到比 C 略高一点的地方，这个略大于 1 的数值 $\frac{3^{12}}{2^{19}}$ 就是著名的 毕达哥拉斯音差（Pythagorean comma）。
- 通过五度相生律计算C上方的 #C：从 C 开始向上方向五度相生。
- 计算C上方的 bD：从 C 开始向下方向五度相生，之后再乘 2（差一个八度）。
- 比较C上方的 (#C, bD),(#D, bE),(#F,bG),(#G,bA),(#A,bB)，频率比都是毕达哥拉斯音差。
单声音乐：单一曲调构成的音乐，包括独唱独奏，齐唱齐奏（包括八度重叠）。
多声部音乐
- 奥尔加农（Organum） 音乐样式
  - 大约公元 9 世纪前后
  - 多声部音乐的雏形
- 多声部音乐可以分为
  - 复调音乐（polyphony）：不同声部具有各自的相对独立性，按照 对位法（counterpoint） 结合在一起。
  - 主调音乐（homophony）：以一个声部为主要旋律声部，其余声部相对缺少独立性，对主要旋律声部起伴奏、烘托的作用（舒伯特《军队进行曲》）。

6.4 纯律¶

在五度相生法（生律元素 3:2）中添加一个生律元素：理想大三度的比例（5:4），形成了 纯律（just intonation）。
生律过程 掌握纯律的生律元素: 3:2 和 5:4, 以及由其产生七个自然音级的计算方法
- 假定音级 C 对应于频率 1。
- 根据生律元素 3:2 得到 C 上方纯五度音程的音 G（频率为 3/2），根据生律元素 5:4 得到 C 上方大三度音程的音 E （频率为 5/4）。
- 一个四度音程加上一个五度音程得到八度音程，八度音程的频率比是 2:1，所以四度音程的频率比应该是八度音程频率比除以五度音程频率比，为 4:3，得到 C 上方纯四度音程的音 F（频率为 4/3）。
- 再由大三度音程 F-A 得到音级 A 对应的频率为（$4/3 \times 5/4 = 5/3$）。
- 根据纯五度音程 E-B 得到 B（频率15/8）。
- 根据纯五度音程 G-D' 得到 D'（9/4），得到 D（9/8）。
- 总的来说就是推各个音程的频率比：已知纯五度，大三度，纯八度，推纯四度，小三度。
- 树洞上看到的：8543，2:1,3:2,4:3,5:4，~~学明白了的应该能看懂 =w=~~
优点：大三和弦 C-E-G, F-A-C', G-B-D' 的频率比都符合理想的 4:5:6，比五度相生律中的大三和弦更加悦耳，这在复调音乐中尤为重要。（对于多声部音乐具有重要意义）
明显的缺点：五度音程 D-A 不协和，$\frac{5}{3} : \frac{9}{8} = \frac{80}{54}$，与理想的 3:2 = 81:54 相差 81:80 = 1.0125，称之为 谐调音差（syntonic comma）（升高四个纯五度(28个半音)，降低两个八度(24个半音)和一个大三度(4个半音)）。

有两种不同的大二度（全音），C-D, F-G, A-B 比例为 9/8，而 D-E, G-A 比例为 10/9；

转调问题。
造成以上问题的根本原因：数域。

6.5 中庸全音律（mean-tone temperaments）¶

连续升高4个纯五度和先升高2个纯八度再升高1个大三度，存在协调音差。

为了消除音差，自然的想法是将音差分摊到每个4个纯五度上，音程关系是频率的比值而不是简单的加减，因此算术平均无法解决问题。

设 $a=81/80$ 为协调音差，其 $1/4$ 等于 $d = a^{1/4}$（几何平均）。

缩小 ¼ 协调音差后的纯五度音程比值为 $3/2 \cdot \frac{2\cdot 5^{1/4}}{3} = 5^{1/4}$。

用这个 $5^{1/4}$ 作为生律元素，从 C 出发依次可得下面 6 个音级：

C' 与 F 的比值应该等于生律元素：
纯律中存在两种不同的大二度（全音）：C-D(9:8)，D-E(10:9)，取它们的几何平均得到 $\frac{\sqrt5}{2}$，这恰为中庸全音律中 D 的值。这说明在中庸全音律中，既保持了大三度音程 C-E 的理想比例 5:4，又使得大二度音程 C-D 和 D-E 的频率相等。
小二度（半音）B-C'的频率比和 E-F 的频率比相同，但是两个小二度叠加后（频率平方）得到的频率比要大于大二度的频率比，说明 在中庸全音律中，两个半音比一个全音要"宽"一些。
优点
- 消除了谐调音差。
- 各个全音音程和半音音程都是一致的。
- 大、小三度和大、小六度音程都合于纯律，能够得到纯律的效果。
- 能够在一定范围内转调。
缺点：牺牲了纯五度的理想比例 3:2，这个误差在经过 11 次五度相生后最终会产生一个与纯五度相差甚大的五度音程，历史上称作 "狼五度"（wolf fifth）。

6.6 平均律¶

设一个八度之间有 12 个半音，$f_{12} = 2f_0$，构成等比数列，公比 $r = 2^{1/12}$。

6.7 音分¶

音分是度量不同声音的频率之比的单位。
设两个声音的频率分别为 $f_1 < f_2$，则它们之间的音分数等于

\[1200\log_2(\frac{f_2}{f_1})\]
平均律一个半音 100 音分。
设两个音级之间频率比为 $r$，相应的音分为 $c$，则有掌握

\[r = 2^{\frac{c}{1200}},\qquad c = 1200 \cdot \log_2r\]

7 音乐与随机，机器作曲¶

只要掌握初等概率论的基本思想、概念和计算方法

7.1 随机作曲¶

随机作曲：有限集合中选取旋律演奏。
"音乐骰子游戏"：扔骰子决定演奏哪段旋律。
小步舞曲通常采用A，B（两支双簧管和一只大管，名为三声中部，两个部分组成，每部分8小节），A 曲式。

7.2 马尔科夫链¶

从概率论的角度，可以把音乐看作是一个 随机过程：随机变量的序列。
音高的 状态空间 $\Omega =\{$ 音级（即 $C,D,\dots$）$\}$
$\xi_{n+1}$ 只与 $\xi_n$ 有关，无记忆性（马尔科夫性质（Markov property））。
具有马尔科夫性质的随机过程称为 马尔科夫链（Markov chain）。
时间齐次的马尔科夫链：$\forall x,y \in \Omega, \forall t > 0, P(\xi_{t + 1} = y \space | \space \xi_t = x) = P(\xi_t = y \space | \space \xi_{t - 1} = x)$，即相应的条件概率不随时间变化。这时可以用一个矩阵来刻画马尔科夫链的行为。
转移概率，转移概率矩阵 $P$ （每一行元素之和都等于 1）。

如何作曲？¶

统计一段乐谱中的所有音（只考虑音高，不考虑时值），得到状态空间 $\Omega$。
统计 $\Omega$ 中每个音后面紧跟着出现的所有音，分别除以这个音的出现次数，作为 $P$ 中这个音对应的行的每一列的元素（没有出现过的音对应位置为 0）。
$m$ 阶的马尔科夫链：移动到下一个状态的概率只与过去的 $m$ 个状态有关。

7.3 遗传算法（感觉不考）¶

遗传算法（Genetic algorithm） 是模拟生物进化中的遗传、变异和自然选择过程的一种搜索全局最优解的算法。
出发点是由若干个 个体（individuals） 组成的 种群（population）。例如由若干乐曲片段构成的种群。
遗传算法要对这些个体进行交叉，变异等操作，使它们"进化"，产生下一代种群。
根据音乐本身的性质要求事先设定 适应度函数，用以衡量进化结果。
遗传算法不断迭代，直到产生需要的进化结果（令人满意的乐曲片段），或者达到预设的迭代次数。

7.4 音乐信息检索（感觉不考）¶

音乐流派分类
机器学习
编码
- FFT：快速傅里叶变换
- DCT：离散余弦变换
监督学习 vs 无监督学习
学习样本
生成式人工智能

8 调式、音阶与和弦¶

8.1 调式与音阶¶

若干音级围绕着某一个有稳定感的中心音级，按照一定的音程关系组织在一起构成的乐音体系称为 调式（mode）。例如：大调式、小调式、中国名族调式 $\dots\dots$
调式中具有稳定感的中心音级称为 主音（tonic）。
调式音阶 从主音开始，主音可以位于任何一个音级。
自然大调（全全半全全全半）
- 自然大调是由两个相同的四声音阶结合而成，每个四声音阶的四个音级之间分别构成大二度、大二度、小二度音程。而两个四声音阶中间相隔大二度。例如以 $C$ 为主音的自然大调音阶：
- C 大调音阶：
- 每个音：
自然小调（全半全全半全全，通过 C 大调和 a 小调记忆）
- 自然小调是由两个不同的四声音阶结合而成，中间相隔大二度。两个四声音阶的四个音级之间的音程分别为"大二度，小二度，大二度"和"小二度，大二度，大二度"。
- 以 A 为主音的自然小调音阶：
- 五线谱上：
和声小调：$VII$ 音（导音）升高半音，例子：刘文正(1979)《小雨中的回忆》，林诗达词曲。
- 以 a 为主音的和声小调音阶：（和上图对比，有一个临时升号）
旋律小调：（上行）$VI,VII$ 都升高半音（后四个音 = 大调，有大调色彩）例子：《莫斯科郊外的晚上》
- 以 a 为主音的旋律小调音阶：
升号调：

按照五度循环地规律依次考虑以 C,G,D,A,E,B,#F,#C 为主音的自然大调音阶，则在相邻的两个音阶中，除了一个音级需要升高半音，其他的音级都相同。因此按照上述次序生成的大调音阶，后一个比前一个恰好增加一个升号。
降号调：

对称地，按照反方向地五度循环规律依次考虑以 C,F,bB,bE,bA,bD,bG,bC 为主音的自然大调音阶，就会发现在相邻的两个音阶中，除了一个音级需要降低半音，其他的音级都相同。因此按照上述次序生成的大调音阶，后一个比前一个恰好增加一个降号。
调号：

根据调式将需要升高或降低的变音记号统一写在五线谱谱号的右边，称为 调号（key signature）。
等音调

B 大调和 bC 大调的音阶中，各个音级都是等音的。在按照十二平均律调律的键盘乐器上，这两个调的音阶在键盘上的位置是完全一样的，只不过是在五线谱上标记为不同的音名。像这样的两个调称为 等音调。

在 15 个自然大调中有三对等音调。
关系大小调和平行大小调

每个大调都对应一个与其 调号相同 的小调。对称地，每个小调也都对应一个与其调号相同的大调。

对称地，每个小调也都对应一个与其调号相同的大调。这种调号相同的大、小调称作 关系大小调。大调的主音通常用大写字母来标注，小调的主音则用小写字母来标注。例如 bB 大调，#c 小调等等。

按照这种标记法，bE 大调和 c 小调是关系大小调，G 大调和 e 小调也是关系大小调。

具有相同主音的大小调称为 平行大小调。例如 bE 大调和 be 小调是平行大小调。
近关系调：每个调式有五个大调及三个关系小调

把 24 个大、小调看作一个家族，则成员之间的关系有远近之分。每一个调式均有 5 个 近关系调（closely related keys）。

8.2 和弦¶

三个或三个以上不同音高的乐音，按照一定的音程关系结合起来，称为 和弦（chord）。和声学 是研究和弦的构成、连接及其在音乐作品中具体应用的理论，是主调音乐的基础。
三和弦
- 传统的和弦是根据 三度叠置原则 构建起来的。
- 按照三度音程关系叠置起来的三个音所构成的和弦称为 三和弦（triad）。
- 在三和弦中，按三度音程排列时，下面的音称为根音。中间的音与根音成三度关系，称为三音。最上面的音与根音成五度关系，称为五音，也称为冠音。
- 叠置的两个三度音程可以分为大三度或者小三度，从而得到四种三和弦：（大小增减）
  - 大三和弦：大三度+小三度 = 纯五度
  - 小三和弦：小三度+大三度 = 纯五度
  - 增三和弦：大三度+大三度 = 增五度
  - 减三和弦：小三度+小三度 = 减五度
- 大三和弦和小三和弦是协和和弦，因为三个音之间的大、小三度音程和纯五度音程都是协和音程。
- 增三和弦和减三和弦是不协和和弦，因为其根音与五音之间增、减五度音程是不协和音程。
七和弦
- 在三和弦上方再叠加一个七度音就构成一个 七和弦（seventh chord）。
- 根据七和弦所包含的三和弦类别和根音上方七度音之间的音程关系，共有七种不同的七和弦：（都是大三度则 = 三和弦）
- 命名：下方三和弦+七度：各取一字
- 传统和弦根据 三度叠置原则（三度音程五线谱上要隔一间或隔一线）构建，因此有时写重升重降号。
和弦的转位

在实际应用中，以根音为低音的和弦称为 原位和弦，以三音、五音或者七音为低音的和弦称为 转位和弦。
- 三和弦有两种转位
  - 第一转位：以三音作为低音，也称作 六和弦，因为这时其低音与高音相差六度。
  - 第二转位：以五音作为低音的，也称作 四六和弦，因为这时其低音与中音、高音分别相差四度和六度。
- 七和弦有三种转位
  - 第一转位：三音为低音，也称作五六和弦
  - 第二转位：五音为低音，也称作三四和弦
  - 第三转位：七音为低音，也称作二和弦
调式音阶中的和弦
- 在调式音阶上，以任一音级作根音都可以构造和弦。
- 和弦标记
- 和弦的调性功能
  
  在调式的 I、IV、V（主音，下属音，属音）音级上构成的和弦分别称为：
  - 主和弦 I：稳定感：开头结尾
  - 属和弦 V：不稳定性（常用属七和弦（GBDF）），想要回到主音
  - 下属和弦 IV：连接和过渡，从主和弦出发/连接到属和弦
  它们统称为 正和弦。
- 在一定和声范围内的和弦连接称为 和声进行（harmonic progression），它体现出了和弦之间的相互关系，功能联系以及音响色彩。
- 正和弦的连接有三种基本方式：
  - 正格进行：$I \rightarrow V \rightarrow I$
  - 变格进行：$I \rightarrow IV \rightarrow I$
  - 复式进行：$I \rightarrow IV \rightarrow V \rightarrow I$
- 从不协和的和弦出发，连接到协和和弦或者较为协和的和弦，这样的和弦进行叫做解决。
- 在调性音乐中，所有的和弦进行最终都要解决到主和弦 I。
- 特里斯坦和弦 4 7 #2 #5：悲剧气氛色彩，强调和弦本身音乐效果。
- 蓝调：和弦连接特色。

9 旋律与对称¶

9.1 旋律中的对称：群论¶

许许多多不同音高、不同时值的音符组合起来就构成了 旋律（melody）。
移调
- 严格移调：把一段旋律中的每个音级升高或者降低相同的半音数。
- 调性移调：适当调整升高或降低的半音数，使得移调后得到的各个音级仍然在调式音阶中。
逆行：把一段旋律依照相反的次序"从尾到头"地重复一遍。
倒影：把旋律中的上升音程用相同半音数的下降音程代替，把下降音程用相同半音数的上升音程代替。不同的对称轴会有不同的倒影。
移调，逆行，倒影都是 对称变换。
调性音乐总有一个主音……限制移调。

9.2 从乐音体系到音类空间¶

$T_n(x) = x + n$，$n < 0$ 时，$T_n$ 是降低 $|n|$ 个半音的移调变换，而 $T_0$ 是 恒等变换。
二元关系（见离散数学笔记）
- 笛卡尔积
- 自反性，对称性，传递性 $\Leftrightarrow$ 等价关系
- 八度关系是乐音体系 $\mathbb{M}$ 上的一个等价关系
- 等价类，商集，分划
乐音体系中根据八度关系形成的等价类称为 音类（pitch class）
- 按照十二平均律，八度关系把所有的音级分成 12 个音类。
- 把 12 个音类放在一起，构成一个集合
\[\mathscr{PC}=\{\overline{\text{C}},\overline{\sharp\text{C}},\overline{\text{D}},\dots,\overline{\text{A}},\overline{\sharp\text{A}},\overline{\text{B}}\}\]

称作 音类空间（pitch class space）。等音的音级属于同一个音类。
$\mathscr{PC}$ 和 $\mathbb{Z}_{12}$

9.3 音乐变换群¶

移调变换 设 $n\in\mathbb{Z}$ 是一个整数，定义升高 $n$ 个半音的移调变换 $T_{n}$

\[T_{n}(\overline{x})=\overline{x+n},\quad\forall\overline{x}\in\mathbb{Z}_{12}\]

$T_m = T_n \Leftrightarrow m \equiv n (mod 12)$，本质上只有 12 个移调变换 $T_0, T_1, \dots, T_{11}$。
变换的复合，代数结构（见离散笔记）
- 具有结合律 $\rightarrow$ 半群
- 半群 + 有单位元 $\rightarrow$ 独异点
- 独异点 + 有逆元 $\rightarrow$ 群
- 群 + 交换律 $\rightarrow$ Abel群
循环群：每个元素都是 生成元 的方幂
- $(\mathbb{Z}^{12}, \oplus)$ 是 12 阶循环群
- $(\mathscr{T}, *) \cong (\mathbb{Z}_{12}, \oplus)$ 移调变换群和模12加法群同构
倒影变换 记 $I$ 为保持音类 $\overline{\text{C}}$ 不变的倒影变换，则有

\[I(\overline{x})=-\overline{x},\quad\forall\overline{x}\in\mathbb{Z}_{12}\]
复合变换 T*I

对任意 $0\le k\le 11$ 和 $\overline{x}\in\mathbb{Z}_{12}$，

\[T^{k}*I(\overline{x})=\overline{k-x}=I*T^{-k}(\overline{x})\]

即有 $T^{k}*I=I*T^{-k}$。
倒影变换 $I$ 与移调变换 $T^k(0 \leq k \leq 11)$ 复合可以得到 12 个不同的倒影变换。

$$\mathscr{D} = \langle T, I \rangle$$ 表示由 $T$ 和 $I$ 关于变换的复合 $*$ 生成的群。这时一个比 $\mathscr{T}$ 更大的群，包含 12 个移调和 12 个倒影。

$\mathscr{T}$ 是 $\mathscr{D}$ 的子群。
正四边形的 4 个旋转和 4 个反射关于变换的复合构成一个群，称作 二面体群（dihedral group），记作 $D_8$。
掌握音类空间 $\mathscr{PC}$ 上由移调变换 $T$ 和倒影变换 $I$ 生成的变换群

\[\mathscr{D}=\langle T,I\rangle=\{T^{i}\text{ 或 }T^{i}*I,0\le i\le 11\}\]

同构于正 $12$ 边形的变换群（二面体群），即有

\[\mathscr{D}\cong D_{24}\]

注意：二面体群 $D_{2n}$（$n\ge 3$）不是交换群！
置换，轮换表达式（见离散笔记）。
置换群，$n$ 次置换群，$n$ 次对称群 $S_n, \space |S_n| = n!$ （见离散笔记）。
逆行变换 用符号 $R$ 代表逆行变换。则对于任意一个音类的序列

\[\overline{x_{1}},\overline{x_{2}},\dots,\overline{x_{k-1}},\overline{x_{k}},\quad\overline{x_{i}}\in\mathscr{PC}\]

$R$ 的作用为

\[R(\overline{x_{1}},\overline{x_{2}},\dots,\overline{x_{k-1}},\overline{x_{k}})=\overline{x_{k}},\overline{x_{k-1}},\dots,\overline{x_{2}},\overline{x_{1}}\]

即把整个序列的次序倒过来。
把逆行变换 $R$ 添进 $\mathscr{D}=\langle T, I\rangle$，最终就得到一个更大的群

\[\mathscr{M} = \langle T, I, R \rangle\]

可以证明，群 $\mathscr{M}$ 的阶 $|\mathscr{M}| = 48$，其结构是一个 直积（direct product）

\[\mathscr{M} = \langle T, I \rangle \times \langle R \rangle \cong D_{24} \times \mathbb{Z}_{2}\]

其中的元素形如

\[T^{i}, T^{i} * I, T^{i} * R, T^{i} * I * R, \quad 0 \le i \le 11\]

9.4 十二音技术¶

出发点：12 音序列
- 一个音列就是 12 个音类的一个排列。
- 掌握初始音列 $P_0$
  - 移调变换得到 $P_0,P_1,\dots,P_{11}$。
  - 对 $P_n$ 做关于其 第一个音类 的倒影变换，得到 倒影音列，记作 $I_n$：$I_0, I_1, I_2, \dots, I_{11}$。
  - 对 $P_n$ 做逆行变换，得到一个 逆行音列 $R_n$：$R_0, R_1, \dots, R_{11}$。
  - 对 $I_n$ 做逆行变换，就得到 逆行倒影音列 $RI_n$：$RI_0, RI_1, \dots, RI_{11}$。
- 这 48 个音列组成一个 音列矩阵（tone row matrix）
  - $12 \times 12$ 的方阵。
  - 第一行为初始音列 $P_0$，第一列为初始音列的倒影 $I_0$。
  - 其他行：根据第一个音的关系进行移调。
  - 勋伯格：《钢琴组曲》 op.25，罗忠镕：《涉江采芙蓉》。
音列的对称性
- 从一个初始音列出发可以得到 48 个音列，但是这 48 个音列中可能有相等的，因此实际得到的互不相同的音列可能少于 48 个。
- 例：从全半音音阶 $P_0$ 出发只能得到 24 个互异的音列。
- 轨道：一个元素 $x \in X$ 的轨道就是当 $x$ 被群 $G$ 里面所有的元素全部作用一次之后，他的所有的可能的在集合 $X$ 中的落点，记为 $O(x)$。
- 稳定化子：$G$ 中使得 $g(x) = x, \space g \in G, x \in X$ 的元素构成的集合 $G_x$。
- 轨道-稳定化子定理
  
  对于任意 $x \in X$，有
  
  \[|G| = |O(x)|\cdot|G_x|\]
  提示
  1. $G_x$ 是 $G$ 的子群。
  2. 证明 $O(x)$ 与 $G_x$ 的左陪集的集合存在双射，即 $$\forall p, g \in G, p*x = q*x \Leftrightarrow pG_x = qG_x$$，于是 $|O(x)| = [G:G_x]$。
  3. 由 Lagrange 定理即证。
- 定理 A：
  
  给定音列 $P_{0} = 0, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}, a_{11}$，存在 $k: 1 \le k \le 11$，使得 $I_{k} = R_{0}$ 的充要条件是
  
  \[0 + a_{11} = a_{1} + a_{10} = a_{2} + a_{9} = \dots = a_{5} + a_{6} = k \pmod{12}\]
  
  其中的 $k$ 为奇数。
- 定理 B
  
  给定音列 $P_{0} = 0, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}, a_{11}$，存在 $k: 1 \le k \le 11$，使得 $P_{0} = R_{k}$ 的充分必要条件是 $k = 6$，且有
  
  \[\begin{cases} a_{6} = a_{5} + 6 \\ a_{7} = a_{4} + 6 \\ \dots \dots & (\text{mod } 12) \\ a_{10} = a_{1} + 6 \\ a_{11} = 6 \end{cases}\]

10 音类集合与新黎曼理论¶

10.1 从音类集合到集合类¶

由若干音类构成的集合称为 音类集合，简称 pc集（pc set） 掌握。
- 包含 $n$ 个音类的 pc集称作是一个 $n$-元 pc 集。显然 $0 \leq n \leq 12$，任意一个 pc集都可以看作是 $\mathscr{PC}$ 的一个子集合。
- 音类集合中的元素是音类，而不是构成传统和弦的音级，音类集合中的元素也无须满足"三度叠置"原则。
- 例子：
  - {C,E,G} = {0,4,7} 对应一个大三和弦
  - {A,C,E} = {9,0,4} 对应一个小三和弦
  - {G,B,D,F} = {7,11,2,5} 对应一个属七和弦
  - {F,B,#D,#G} = {5,11,3,8} 对应于特里斯坦和弦
  - {C,D,E,F} = {0,2,4,5} 对应一个非传统和弦
- 从音类集合的角度看，音阶也是一个 pc集。
- 根据紧凑原则对每个 pc 集规定一个标准的表达式，称为这个 pc 集的 标准序 或者 标准形。
音类圆周上的 pc 集
- 一个 n-元 pc 集可以表示成音类圆周中的一个内接 n-边形。
音类之间的距离 对于任意两个音类 X,Y，它们之间的距离定义为从音类圆周上从 X 出发，到达 Y 所经过的最少音类数。显然 $1 \leq d \leq 6$。
距离向量 在音类圆周上，一个 $n$-元 $\text{pc}$ 集被表示成一个 $n$-边形，它有

\[C_{n}^{2} = \frac{n(n-1)}{2}\]

对顶点。把这 $C_{n}^{2}$ 对顶点用直线相连，则这些连线分别构成 $n$-边形的边和对角线。$n$-边形中的每一对顶点代表了这个 $\text{pc}$ 集中的两个音类。定义这个 $\text{pc}$ 集的 距离向量

\[\delta = (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{6})\]

其中 $d_{i}$ 等于距离为 $i$ 的顶点对的数目。
- 给出的是所有音类对之间的距离，描述了所有音程含量，很大程度上刻画了声音效果。
- 移调不改变距离向量。
作用在音类集合上的移调变换 12 阶循环群 $\mathscr{T} = \langle T \rangle$ 作用在某个 pc 集 $\mathscr{X}$ 上，可以得到 12 个 pc 集。

任意两个大三和弦，总可以找到某个移调变换使它们相同。

说明在群 $\mathscr{T}$ 的作用下，12 个大三和弦属于同一条 轨道（orbit），可以把 12 个大三和弦归于同一个 类（class）。
作用在音类集合上的倒影变换 在音类圆周上，倒影变换 $I$ 相当于作关于 C-#F 轴的反射。进一步，$I$ 和 $T$ 共同生成一个 24 阶群 $\mathscr{D}$，它同构于二面体群 $D_{24}$。
群 $\mathscr{D}$ 在音类集合上的作用 $T$ 把大三和弦变成大三和弦，$I$ 把大三和弦变成小三和弦。它们的复合 $T * I$ 把大三和弦变成另一个小三和弦。

任意给定两个大三和弦或小三和弦 $\mathscr{X, Y}$，必存在群 $\mathscr{D}$ 中变换 $g$，使得 $g(\mathscr{X}) = \mathscr{Y}$。
音类集合的分类

在群 $\mathscr{D} = \langle T, I \rangle$ 的作用下，pc集就按照 $\mathscr{D}$ 的轨道被分成了若干等价类。一个pc集的等价类（轨道）称为一个 集合类（set class）。换言之，通过 $\mathscr{D}$ 的作用对 4096 个pc集做了一个分类。

例如：220个3元pc集被分成了12个集合类，其中 24 个大、小三和弦对应的pc集属于同一个等价类，换言之，它们在群 $\mathscr{D}$ 的同一条轨道中。
音类集合表，原型，福特名称
- 按照一定的方法在每个集合类里取一个pc集作为代表，就得到了 音类集合表。
- 集合类代表的标准序称为这个集合类的原型。例如：对应于大、小三和弦的集合类的原型为 {C,bE,G} = {0,3,7}。
- 艾伦·福特给每个集合类起了一个名字 k-x（k-xx）
  - k 是该集合类中 pc集包含的音类数目
  - x 或 xx 是序号
  - 例如 {0,3,7} 所在集合类被命名为 3-11，意指 3-元 pc集形成的集合类中的第 11 个
- 属七、半减和弦在同一集合类，大三、小三和弦在同一集合类。
音级 $\rightarrow$ 音类 $\rightarrow$ 音类集合 $\rightarrow$ 集合类
全音程和弦：一个 n-和弦 $\mathscr{A}$ 称为是 全音程和弦，如果其距离向量 $\delta = (1,1,1,1,1,1)$。可见 $\mathscr{A}$ 包含 6 对距离互不相同的音类。根据 $C_n^2 = 6$ 可以得出 $n = 4$。

例如 {B,C,D,#F},{C,#C,E,#F} 都是全音程和弦。

全音程和弦的构成不满足三度叠置原则，从而不是传统的七和弦，在调性音乐中只有在极特殊的情形才会出现。但是在无调性音乐的创作中，全音程和弦具有重要的地位。
- 定理：在群 $\mathscr{D} = \langle T, I \rangle$ 的作用下，只有两类互不等价的全音程和弦 $\mathscr{A_1,A_2}$，它们在音类集合表中的名词分别为 4-Z29 和 4-Z15。
命题：集合类中 pc 集的距离向量

移调变换 $T$ 和倒影变换 $I$ 不改变 pc集的距离向量。从而在同一个集合类中的 pc 集具有相同的距离向量。

但是，具有相同距离向量的两个 pc集可能分属不同的集合类，例如全音程和弦 $\mathscr{A_1,A_2}$。
子集合：
- 字面上的：直接就是
- 抽象的：需要变换
掌握：音类圆周与五度圆周
- 在音类圆周上，根据五度相生法重新排列 12 个音类，可以得到一个新的音类圆周，称为 五度圆周。特点：
  - 它上面的每个半圆弧都对应一个自然大调音阶，其 主音是这个半圆弧上顺时针方向的第 2 项。（example: C 顺时针出发的一个半圆弧包含 G 大调音阶的各音类）
  - 从数学上看，定义变换：$M_7 : \mathbb{Z}_{12} \rightarrow \mathbb{Z}_{12}: x \rightarrow 7x \pmod{12}, \qquad \forall x \in \mathbb{Z}_{12}$，则 $M_{7}$ 引起的 $0,1,2,\dots,11$ 的排列恰好把音类圆周变成五度圆周。进一步它还把全音程和弦 $\mathscr{A_1}$ 变成 $\mathscr{A_2}$。
  - 可以判断一个音类出现在哪些大调音阶中。
  - 可以确定一个和弦可能出现在哪几个大调中。

10.2 和弦连接与黎曼变换¶

据说很喜欢考

10.2.1 协和三和弦¶

大写字母 X 记为 X 为根音的大三和弦。
小写字母 x 记为 x 为根音的小三和弦。

10.2.2 集合类 3-11（大、小三和弦对应的pc集的集合类）上的变换¶

25春考了很多！！！

平行变换 $P$: $\mathscr{C} \rightarrow \mathscr{C}$，把任意一个三和弦变成与之平行的三和弦，例如 $P(C) = c, P(ba) = bA$。
- 具有相同根音的大三和弦和小三和弦称为 平行的 大小三和弦。
- 平行变换 $P$ 把小三和弦的三音升高半音，把大三和弦的三音降低半音。
- 保持纯五度音程。
关系变换 $R$: $\mathscr{C} \rightarrow \mathscr{C}$，把任意一个三和弦变成其关系三和弦。
- 称大三和弦 C 和小三和弦 a 是 关系三和弦（大调的关系小调）。
- 保持大三度音程。
导音交换 $L$: 把大三和弦的根音降低一个半音；把小三和弦的冠音升高一个半音。
- 保持小三度音程。
集合 $\mathscr{C}$ 上这三个变换 $P,R,L$ 统称为 黎曼变换。
共同特点
- 几何上看，都只改变三角形的一个顶点（分别以三角形的三条边对应中线作对称轴）。
- 记忆方法
  - 三角形三边长度递减排列，标为 0，1，2。
  - P 以 0 边中线为对称轴，R 以 1 边中线为对称轴，L 以 2 边中线为对称轴。
  - 原理就是 P，R，L 分别保持纯五度，大三度，小三度音程不变。
- 音乐上看，都只改变三和弦中的一个音类，保持其他两个音类不变，从而变换前后的和弦共享一个音程。

10.2.3 音网¶

P，R，L 循环（~~懒得打了，看图吧~~）
以任意一个音类为根音，可以构造一个大三和弦，故共有 12 个大三和弦。从任意一个大三和弦出发，构造 P,R,L 循环，就可以得到 12 个互不相同的循环，对应于 12 个正六边形（像上图）。

将这些正六边形按照其公共边重合起来，就得到一个网状的图，称为 音网（Tonnetz）。
P,R,L 循环

中，这六个三和弦包含唯一一个共同的音类 G。

在音网中，用正六边形对应的6个三和弦共同包含的这个唯一的音类作为这个六边形的标号，于是把音网表示成若干带标号的正六边形构成的图形：
音网中两个六边形是否相邻，在某种程度上反映了这两个六边形的标号所构成的音程是否协和。
顶点音类
十二平均律体系中是环面：在十二平均律体系内，音网实际上并不是无限延展的，而是在水平和垂直两个方向出现周期性的重复。在几何上，这样的一个具有双周期的图形构成一个环面。

10.3 新黎曼群¶

大、小三和弦的集合 $\mathscr{S}$ 上的平行变换 $P$，关系变换 $R$ 和导音交换 $L$ 关于变换的复合 $*$ 构成一个群

\[\mathscr{N} = \langle P, R, L \rangle\]

称作 新黎曼群（neo-Riemannian group）。
$\mathscr{N}$ 同构于 24 阶二面体群 $D_{24}$。
事实上，只用两个黎曼变换 $R$ 和 $L$ 就可以生成群 $\mathscr{N}$。
\[P = R * (L * R)^{3} = R * L * R * L * R * L * R\]
群中的字
- 设 $G$ 是一个群，子集合 $S \subset G$ 是 $G$ 的一个生成元集合。$S$ 上的一个 字（word） 是一个形如
\[s_{1}^{\varepsilon_{1}} * s_{2}^{\varepsilon_{2}} * \cdots * s_{k}^{\varepsilon_{k}}\]

的表达式，其中 $s_{i} \in S, \varepsilon_{i} = \pm 1, 1 \le i \le k$。
- 在新黎曼群 $\mathscr{N}$ 中，$S = \{P, R, L\}$ 是一个生成元集合，
\[R * P * R * L * R, \quad L * R * L * R * L * R * L * R * L * R * L\]

等都是 $S$ 上的字。
- 直观：字就是生成元串。
- 字对应音网上一个和弦进行路径。
- 新黎曼群中的字、和弦序列、音网上的路径：和弦变换三位一体。
作品实例：海顿的 e 小调钢琴奏鸣曲（Piano Sonata in E-minor, Hob XVI:34）第72 - 76 小节。
音网上的 哈密顿圈：环面上的音网图包含一个哈密顿圈，说明：
- 可以从一个三和弦出发，经过一系列的变换 P,R,L，使得 24 个大、小三和弦每个都恰好出现一次。
- 可以比较"平滑"地遍历全部大、小三和弦。

11 数学中的节奏与节奏的数学¶

ppt上没标掌握，没标就是不考_{~（不考我就不写）}~

11.1 时值序列（duration rows）¶

增值变换，时值序列。
整体序列主义。

11.2 Clapping Music¶

一共有多少种可能的 节奏型?
- 项链的计数
- 置换的轮换分解
- 不动点集合，Burnside 引理和 Polya 定理（见离散笔记）
设 $G$ 是集合 $\Omega$ 上的一个置换群，共有 $t$ 条轨道，则有

\[t = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} |\Omega_g|\]

其中不动点集合 $\Omega_g = \{\alpha \in \Omega \space | \space g(\alpha) = \alpha\}$

11.3 序列主义 vs 简约主义¶

简约主义：用最少的音乐材料达到尽可能大的效果，采用简单的和声语言重复短小的音乐动机。（重复，冗余，持续不断，有侵略性）
泛三和弦（pan-triadic）：指环王 2：双塔奇兵（The Lord of the Rings : The Two Towers）(2002)

~~（好吧还是写一点）~~