第二章：线性方程组与线性方程

线性方程组¶

\[ x^{'} = A(t)x + f(t) \]

其中矩阵函数 $A(t)$ 和向量函数 $f(t)$ 在 $(a, b)$ 上连续。

存在唯一性定理（叙述，条件，结论）¶

设 $A(t)$ 和 $f(t)$ 于区间 $I$ 连续，则对任意 $\tau \in I$ 和任意 $n$ 维常向量 $\xi$，初值问题 (NH) 的解于 $I$ 上存在且唯一。
证明方法：用逐步逼近法构造 皮卡序列(Picard, 1856-1841) $$ \begin{aligned} \varphi_0(t) &= \xi, \ \varphi_k(t) &= \xi + \int_\tau^t(A(s)\varphi_{k - 1}(s) + f(s))ds, \qquad k = 1,2, \dots \end{aligned} $$
证明序列 ${\varphi_k(t)}$ 于 $I$ 内部一致收敛（即于 $I$ 的任意有限闭子区间上一致收敛），且其极限函数是积分方程组 $$ x(t) = \xi + \int_\tau^t (A(s)x(s) + f(s))ds $$ 在 $I$ 上的连续解。

由序列与级数的关系，使用魏尔斯特拉斯判别法，只需证明无穷级数 $$ \sum\limits_{m = 1}^{\infty}(\varphi_m(t) - \varphi_{m - 1}(t)) $$ 在其定义区间上一致收敛。运用数学归纳法即可。

最后证明唯一性。（使用反证法，假设存在另外解，证明二者相同）

从更高观点来看，$A(t)x + f(t) = f(t,x)$，其中 $f(t, x)$ 在其定义区间上连续可微，满足利普希兹条件，于是 $x^{'} = f(t,x)$ 的解在任意初值所在区间附近存在且唯一。又由解的延拓性和整体存在性，可以进一步扩大解的存在范围。

Weierstrass 判别法¶

设函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)(x \in D)$ 的每一项 $u_{n}(x)$ 满足 $$ |u_{n}(x)| \leq a_{n}, x \in D $$ 并且数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$ 在 $D$ 一致收敛。

齐次线性方程组（LH）的通解的结构¶

方程组（LH）的解的全体构成一个 $n$ 维线性空间，任意 $n$ 个线性无关的解合起来称为它的一个 基本解组，$n$ 个解作为列向量排列成的 $n$ 阶方阵称为方程组（LH）的一个 基本解矩阵
设 $\Phi(t)$ 是基本解矩阵
$\frac{d\Phi(t)}{dt} = A(t)\Phi(t)$
$\det \Phi(t) \neq 0$
通解为 $x = \Phi(t)c$，其中 $c = (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$ 是任意的 $n$ 维常向量。
朗斯基行列式（Wronski，1776-1853）
齐次方程的解 $x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t)$ 线性无关的充要条件为它们构成的朗斯基行列式在某一点处不为零

刘维尔公式¶

若 $\varphi_1(t) , \varphi_2(t), \dots, \varphi_n(t)$ 是方程组（LH）的解，则它们的朗斯基行列式 $W(t)$ 可表示为

\[ W(t) = W(t_0)e^{\int_{t_0}^t trA(s)ds} \]

非齐次线性方程组（NH）的通解的结构¶

\[ x^{'} = A(t)x + f(t) \]

设 $\Phi(t)$ 是（LH）的基本解矩阵，（NH）通解表达式为 $$ x = \Phi(t)(C + \int\Phi^{-1}(s)f(s)ds) $$

一阶线性方程 $\frac{dy}{dx} = p(x)y + q(x)$ 的通解表达式就是一种特殊情况
齐次线性方程组的所有解构成 $n$ 维线性空间，但是非齐次线性方程组的所有解 不构成线性空间！
非齐次线性方程组有且最多有 $n+1$ 个线性无关解

齐次函数¶

一个函数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为 m 次齐次函数，如果对于所有 $t > 0$ 和所有 $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)$ 在其定义域内，满足以下基本性质：

核心定义¶

\[ f(t\mathbf{x}) = f(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) = t^m f(\mathbf{x}) \]

欧拉齐次函数定理¶

如果一个 $m$ 次齐次函数 $f$ 是可微的，那么它的所有一阶偏导数满足以下关系：

\[ x_1 \frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2 \frac{\partial f}{\partial x_2} + \dots + x_n \frac{\partial f}{\partial x_n} = m f(x_1, x_2, \dots, x_n) \]

（$f(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) = t^m f(\mathbf{x})$ 两边同时对t求导即可。）

用更简洁的向量记号（梯度 $\nabla f$）表示为：

\[ \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = m f(\mathbf{x}) \]

偏导数的齐次性¶

如果 $f(\mathbf{x})$ 是 $m$ 次齐次的，那么它的一阶偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 是 $(m-1)$ 次齐次的。

\[ \frac{\partial f}{\partial x_i}(t\mathbf{x}) = t^{m-1} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x}) \]

更一般地，$k$ 阶偏导数是 $(m-k)$ 次齐次的。

边值问题和周期解¶

定理 5.1¶

齐次方程组（LH）只有平凡解 $x = 0$ 满足两点边值条件 $Lx(a) + Nx(b) = 0$ 当且仅当 $L\Phi(a) + N\Phi(b)$ 是非奇异矩阵，其中 $\Phi(t)$ 是方程组（LH）的基本解矩阵。

定理 5.2¶

若齐次方程组（LH）只有零解 $x=0$ 满足两点边值条件，则对任何 $f(t)$，方程组（NH）恒有解满足两点边值条件。

定理 5.3 （马赛拉（Massera）准则）¶

若 $A(t)$ 和 $f(t)$ 是 $R$ 上连续的 $\omega$-周期函数，则方程组（NH）存在 $\omega$-周期解的充要条件是方程组（NH）有一个 $R$ 上的有界解。

高阶线性方程¶

形如 $$ x^{(n)} + a_1(t)x^{(n-1)} + \cdots + a_n(t)x = f(t) $$ 的 $n$ 阶线性微分方程，其中 $a_1(t), a_2(t), \dots, a_n(t), f(t)$ 都是区间 $I$ 上的纯量函数。

$f(t) = 0$ 时变为齐次方程。

通解的结构¶

作代换 $$ x_1 = x, x_2 = \frac{dx}{dt}, \dots, x_n = \frac{d^{n - 1}x}{d^{n - 1}t} $$ 转化为等价线性微分方程组。

利用等价关系可以运用前面得到的结论。

存在唯一性定理

设 $a_1(t), a_2(t), \dots, a_n(t)$ 和 $f(t)$ 于区间 $I$ 连续，则对任意 $\tau \in I$ 和任意常数 $\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_{n - 1}$，方程满足初值条件 $$ x(\tau) = \xi_0, \space x^{'}(\tau) = \xi_1,\dots,\space x^{(n-1)}(\tau) = \xi_{n - 1} $$ 的解在 $I$ 上存在且唯一。

齐次、非齐次线性方程的通解结构类似
刘维尔公式

\[ W(t) = W(t_0)e^{-\int_{t_0}^t a_1(s)ds} \]

，由 $n$ 阶线性微分方程变量替换后转化得到的线性方程组的结构决定（$A(t)$ 的对角线上除了最后一个 $-a_1(t)$ 其他全为 $0$

常数变易法求解非齐次方程：
齐次方程的基本解矩阵为 $\Phi(t)$
设非齐次方程的解为 $x = \Phi(t)c(t)$ $$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{d \Phi(t)}{dt} c(t) + \Phi(t)\frac{dc(t)}{dt} \\ &= A(t)\Phi(t)c(t) + \Phi(t)c^{'}(t) \\ &= A(t)x + f(t) \\ &= A(t)\Phi(t)c(t) + f(t) \\ &\Rightarrow c^{'}(t) = \Phi^{-1}(t)f(t) \end{aligned} $$ 求出一组 $c_i(t)$，最后利用通解结构定理写出通解。
求解高阶方程的降阶法

已知一个解 $x = \varphi(t)$，令 $x = \varphi(t)y$，可化为 $y$ 的低一阶的方程。特别对于二阶非齐次线性方程只需知道对应齐次方程的一个解，即可求出通解。（两种方法：其一，利用上述变换；其二，利用刘维尔公式）

利用常数变易法解得特解，得到 拉格朗日常数变易公式 $$ x = c_1\varphi_1(t) + c_2\varphi_2(t) + \dots + c_n\varphi_n(t) + \int_{\tau}^t \frac{\Delta(t, s)}{W(s)}f(s)ds， $$ 其中 $\varphi_i(t)$ 是齐次方程的一个基本解组，$W(t)$ 是 $\varphi_i(t)$ 的朗斯基行列式，$\Delta(t, s)$ 是这样一个 $n$ 阶行列式：前 $n - 1$ 行是 $W(t)$ 的前 $n - 1$ 行相应元素，而第 $n$ 行是 $W(t)$ 第一行的相应元素。

线性方程的复值解¶

容易证明：一个复值向量函数 $$ \varphi(t) = u(t) + iv(t) $$

是（NH）的解
$u(t)$ 是（NH）的解
$v(t)$ 是（LH）的解
是（LH）的解
$u(t), v(t)$ 都是（LH）的解