第三章：常系数线性方程

$n$ 阶常系数齐次线性方程¶

\[ \frac{d^n x}{dt^n} + a_1 \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \frac{dx}{dt} + a_n x = 0 \]

特征方程及其性质¶

引入微分算子 $D = \frac{d}{dt}$，$D x = \frac{dx}{dt}$，$D^2 x = \frac{d^2 x}{dt^2}$，$\cdots$。

方程化为 $(D^n + a_1 D^{n-1} + \cdots + a_{n-1} D + a_n) x = 0$。

记 $P(D) = D^n + a_1 D^{n-1} + \cdots + a_n$，则 $P(D) x = 0$。

特征方程：$P(\lambda) = \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n = 0$。

若 $P(\lambda_0) = 0$，那么 $x = e^{\lambda_0 t}$ 是解。

$P(D) e^{\lambda_0 t} = P(\lambda_0) e^{\lambda_0 t} = 0$。

若 $P(\lambda)$ 有 $n$ 个不同的根 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$，则 $e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}, \cdots, e^{\lambda_n t}$ 是基本解组。

证明：朗斯基行列式 $W(t) = W(0) e^{-\int_0^t a_1 ds} = W(0) e^{-a_1 t}$。

而 $W(0)$ 是范德蒙行列式，$\prod_{1 \le i < j \le n} (\lambda_j - \lambda_i) \neq 0$，所以 $W(t) \neq 0$。

若 $\lambda_0$ 是 $P(\lambda) = 0$ 的 $k$ 重根，则 $e^{\lambda_0 t}, t e^{\lambda_0 t}, \ldots, t^{k-1} e^{\lambda_0 t}$ 是原方程 $k$ 个线性无关的解。

$P(\lambda) = Q(\lambda)(\lambda - \lambda_0)^k$，$Q(\lambda_0) \neq 0$。

$P(D) x = Q(D)(D - \lambda_0)^k x$

引理：对于复数 $s$ 和整数 $m$，$D^m (e^{s t} x(t)) = e^{s t} (D + s)^m x(t)$。

证明（归纳法）：$m=1$，$D(e^{s t} x) = s e^{s t} x + e^{s t} D x = e^{s t} (D + s) x$。假设 $m$ 时成立，$D^m (e^{s t} x) = e^{s t} (D+s)^m x$。$D^{m+1} (e^{s t} x) = D [ e^{s t} (D+s)^m x ] = e^{s t} (D+s) (D+s)^m x = e^{s t} (D+s)^{m+1} x$。现在，令 $s = -\lambda_0$，则 $(D - \lambda_0)^k x = e^{\lambda_0 t} D^k (e^{-\lambda_0 t} x)$。所以 $P(D) x = Q(D) e^{\lambda_0 t} D^k (e^{-\lambda_0 t} x) = 0$。由于 $Q(D)$ 和 $e^{\lambda_0 t}$ 可逆（在解空间中），等价于 $D^k (e^{-\lambda_0 t} x) = 0$。$\Rightarrow e^{-\lambda_0 t} x$ 为任意次数不超过 $k-1$ 的多项式：$C_0 + C_1 t + \cdots + C_{k-1} t^{k-1}$。$\Rightarrow x = e^{\lambda_0 t} (C_0 + C_1 t + \cdots + C_{k-1} t^{k-1})$。取 $C_i=1$，其余为 $0$，得到 $k$ 个线性无关解 $e^{\lambda_0 t}, t e^{\lambda_0 t}, \ldots, t^{k-1} e^{\lambda_0 t}$。

解的结构¶

如果特征多项式 $P(\lambda)$ 可分解为 $$ P(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{n_1} (\lambda - \lambda_2)^{n_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{n_r} $$

其中 $n_1 + n_2 + \cdots + n_r = n$，$\lambda_i \neq \lambda_j (i \neq j)$，

则函数组

\[ e^{\lambda_1 t}, t e^{\lambda_1 t}, \ldots, t^{n_1-1} e^{\lambda_1 t} \\ e^{\lambda_2 t}, t e^{\lambda_2 t}, \ldots, t^{n_2-1} e^{\lambda_2 t} \\ \cdots \\ e^{\lambda_r t}, t e^{\lambda_r t}, \ldots, t^{n_r-1} e^{\lambda_r t} \]

为基本解组。

注意实系数方程组（方程）都要求求出实值解

矩阵指数函数¶

引入的主要目的是为了研究常系数齐次线性方程组 $$ \frac{dx}{dt} = Ax $$ 的解法及其解的性质

矩阵的指数函数定义：

\[ e^A \triangleq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n = E + A + \frac{1}{2!} A^2 + \cdots \]

\[ e^{A t} \triangleq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (A t)^n = E + A t + \frac{1}{2!} A^2 t^2 + \cdots \]

性质：
- $\frac{d}{dt} e^{A t} = A e^{A t}$。
- 若 $AB = BA$，则 $A e^{B t} = e^{B t} A$，且 $e^{(A+B)t} = e^{A t} e^{B t} = e^{B t} e^{A t}$。
- $e^{A t}$ 可逆，$(e^{A t})^{-1} = e^{-A t}$。
- 若 $T$ 可逆，则 $e^{(T A T^{-1}) t} = T e^{A t} T^{-1}$。
$e^{A t}$ 是 $\frac{dx}{dt} = A x$ 的基本解矩阵 ($\Phi(0)=E$)。
$\frac{dx}{dt} = A x + f(t)$ 的通解：$x = e^{A t} C + e^{A t} \int_{t_0}^{t} e^{-A s} f(s) ds$。

若初值 $x(t_0) = x_0$，则 $C = e^{-A t_0} x_0$，

$x = e^{A (t-t_0)} x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{A (t-s)} f(s) ds$。（这是一个卷积，与信号与系统内容相关）

$e^{A t}$ 的计算（若当标准型法）¶

设 $A = T J T^{-1}$，$J$ 为若当标准型。

则 $e^{A t} = T e^{J t} T^{-1}$。

$e^{J t} = \operatorname{diag}( e^{J_1 t}, e^{J_2 t}, \cdots, e^{J_r t} )$

对于若当块 $J_i = \lambda_i E + N$ ($N$ 为幂零矩阵)，

$$ e^{J_i t} = e^{\lambda_i t} (E + N t + \frac{N^2 t^2}{2!} + \cdots + \frac{N^{k-1} t^{k-1}}{(k-1)!}) $$ ~~考算这个的话算我输~~

常系数线性齐次线性方程组的求解¶

$A$ 可对角化¶

则 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。令 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 对应的特征向量为 $c_1, c_2, \dots, c_n$ （可以有相同的特征值），则 $$ e^{\lambda_1t}c_1, e^{\lambda_2t}c_2, \dots, e^{\lambda_nt}c_n $$ 为基本解组

$A$ 不可对角化¶

引理： 设 $A$ 有互异特征根 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$，重数分别为 $n_1, n_2, \dots, n_s$，$n_1 + n_2 + \dots + n_s = n$，$V$ 是 $n$ 维欧氏空间，则对于 $i = 1, 2, \dots, s$， $$ V_i = {v \in V \mid (A - \lambda_iE)^{n_i}v = 0} $$ 是 $A$ 的 $n_i$ 维不变子空间，并且有直和分解 $$ A = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_s $$ 即 $(A - \lambda_iE)^{n_i}v = 0$ 有 $n_i$ 个线性无关的解，它们构成不变子空间 $V_i$ 的一组基向量。

根据引理，针对 $A$ 的特征值 $\lambda_i$，设它的代数重数为 $n_i$

求 $(A - \lambda_iE)^{n_i}v = 0$ 的 $n_i$ 个线性无关的解 $v_j^i, \space j = 1, 2, \dots, n_i$
求对应于 $v_j^i$ 的解（对每个 $\lambda_i$，中间那一坨只用求一次）

\[ \varphi_j^i = e^{\lambda_it}[\sum\limits_{k = 0}^{n_i - 1}\frac{t^k}{k!}(A - \lambda_iE)^k]v_j^i \]

重复所有的 $\lambda_i$，得到 $n$ 个线性无关的解。
也可以用算子解法求解常系数微分方程组：克莱姆法则——化为高阶线性方程

常系数方程解的渐近性质（稳定性）¶

\[ \frac{dx}{dt} = A x \]

若 $A$ 的所有特征根实部都小于零，即 $\operatorname{Re}(\lambda_i) < 0, \forall i$，则方程组的任意解 $\lim\limits_{t \to +\infty} X(t) = 0$。
若 $A$ 至少有一个特征根实部大于零，即 $\exists i, \operatorname{Re}(\lambda_i) > 0$，则存在解 $\lim\limits_{t \to +\infty} |X(t)| = \infty$。
若 $A$ 的所有特征根实部都小于等于零，且实部为零的特征根对应的初等因子是一次的（即若当块均为 $1\times 1$），则所有解有界。

非齐次方程解法¶

有常数变易法，待定系数法，算子解法，拉普拉斯变换法等解法

算子解法 比较好用

把非齐次微分方程 $$ P(D)x = f(t) $$ 的解族记作 $$ \frac{1}{P(D)}f(t) $$ 即用 $\frac{1}{P(D)}$ 表示这样一个函数，以 $P(D)$ 作用后等于 $f(t)$

性质：

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{P(D)} e^{\lambda t} = \frac{1}{P(\lambda)} e^{\lambda t}, \quad P(\lambda) \neq 0 \\[15pt] \displaystyle \frac{1}{P(D^2)} \cos \alpha t = \cos \alpha t \frac{1}{P(-\alpha^2)}, \quad P(-\alpha^2) \neq 0 \\[15pt] \displaystyle \frac{1}{P(D^2)} \sin \alpha t = \sin \alpha t \frac{1}{P(-\alpha^2)}, \quad P(-\alpha^2) \neq 0 \\[15pt] \displaystyle \frac{1}{P(D)} e^{\lambda t} v(t) = e^{\lambda t} \frac{1}{P(D + \lambda)} v(t) \\[15pt] \text{设 } f_k(t) = b_0 + b_1 t + \cdots + b_k t^k, \quad P(0) = a_n \neq 0 \\[10pt] \displaystyle \frac{1}{P(D)} f_k(t) = Q_k(t) f_k(t) \\[10pt] \text{其中 } Q_k(t) \text{ 是 } \displaystyle \frac{1}{P(D)} \text{ 在 } D=0 \text{ 附近泰勒展开式的前 } k+1 \text{ 项} \end{cases} \]

最后一项：不妨设 $P(0) \neq 0$，否则 $P(D) = D^rP_1(D)$，$P_1(0) \neq 0$，用 $P_1(D)$ 代替 $P(D)$

$Q_k(D)$ 是 $D$ 的 $k$ 次多项式，它是将 $P(D)$ 按 $D$ 的升幂排列后用通常的多项式除法去除 $1$，在第 $k + 1$ 步上得到的商式。

原理是 $$ 1 = Q_k(D)P(D) + R(D) $$ 其中 $R(D)$ 是余式，它的最低次数为 $k + 1$

上式两端同时作用于 $f_k(t)$，即有 $$ f_k(t) = P(D)Q_k(D)f_k(D) $$

注意灵活运用

例：

\[ \begin{aligned} \frac{1}{D^2 + 3D + 2}e^{e^t} &= \frac{1}{D+2} \cdot \frac{1}{D + 1}e^{e^t} \\ &= \frac{1}{D + 2}\cdot (e^{-t}\frac{1}{D}e^te^{e^t}) \\ &= \frac{1}{D + 2}e^{-t}e^{e^t} \\ &= e^{-2t}\frac{1}{D}e^te^{e^t} \\ &= e^{-2t}e^{e^t} \end{aligned} \]

算子解法解出的是非齐次方程的一个特解，要得到通解，还需要解 $P(D) = 0$ 得出齐次方程的通解。

Euler 方程¶

\[ t^nx^{(n)} + a_1 t^{n - 1}x^{(n - 1)} + \dots + a_nx = 0 \]

变量替换：$t = e^s$，即 $s = \ln |t|$

并记 $D_0 = \frac{d}{ds}$，则有

\[ t^mD^mx = D_0(D_0 - 1)\dots (D_0 - m + 1)x \]

例：

解方程

\[ (t^2D^2 - 2tD + 2)x = 4 \ln t \]

作变量替换 $t = e^s$，

得到 $$ (D_0(D_0 - 1) - 2D_0 + 2)x = 4s $$ 解出特解 $x = 2s + 3$，

齐次方程通解 $x = c_1e^s + c_2 e^{2s}$

非齐次方程通解为 $x = c_1e^s + c_2 e^{2s} + 2s + 3$

带回 $t = e^s$，得到原方程解为 $$ x = c_1t + c_2 t^2 + 2 \ln |t| + 3 $$

拉式变换法¶

不考，懒得写了

例题¶

例：设 $y = \varphi(x)$ 是二阶齐次线性微分方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的一个非零解，其中 $p(x), q(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，求方程的通解。

解：由降阶法公式，（刘维尔公式）

\[ y = \varphi(x) \left[ C_1 + C_2 \int \frac{e^{-\int p(x) dx}}{\varphi^2(x)} dx \right] \]

例：$y_1 = -e^{x^2}, y_2 = e^{x^2}(e^x - 1)$ 为非齐次方程 $y'' - 4x y' + q(x) y = f(x)$ 的解。求通解。

例：$x = \varphi(t)$ 是 $\frac{dx}{dt} = A(t) x$ 的解，$y = \psi(t)$ 是 $\frac{dy}{dt} = -A^T(t) y$ 的解。证明 $\psi^T(t) \varphi(t)$ 为常数。

证明：$\frac{d}{dt} (\psi^T \varphi) = (\frac{d\psi}{dt})^T \varphi + \psi^T \frac{d\varphi}{dt} = (-A^T \psi)^T \varphi + \psi^T (A \varphi) = -\psi^T A \varphi + \psi^T A \varphi = 0$。

故 $\psi^T(t) \varphi(t)$ 为常数。

\(n\) 阶常系数齐次线性方程¶