第五章：定性理论初步

解的稳定性¶

定义 1.1 李雅普诺夫稳定¶

设方程组 $(E)$ 的解 $x = \varphi(t, \tau, \xi_0)$ 在区间 $[\tau, +\infty)$ 有定义。若对任给的 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得当 $|\xi - \xi_0| < \delta$ 时，解 $x = \varphi(t, \tau, \xi)$ 在区间 $[\tau, +\infty)$ 有定义，且 $$ |\varphi(t, \tau, \xi) - \varphi(t, \tau, \xi_0)| < \epsilon, \space t \in [\tau, +\infty)$$ ，则称 $x = \varphi(t, \tau, \xi)$ （在李雅普诺夫意义下）是稳定的。否则，称 $x = \varphi(t, \tau, \xi_0)$ 是 不稳定 的。

定义 1.2 渐近稳定和全局渐近稳定¶

若 $x = \varphi(t, \tau, \xi_0)$ 是稳定的，且存在 $\delta_0 > 0$，使得只要 $|\xi - \xi_0| < \delta_0$，就有 $$ \lim\limits_{t \rightarrow +\infty}(\varphi(t, \tau, \xi) - \varphi(t, \tau, \xi_0)) = 0 $$ ，则称 $x = \varphi(t, \tau, \xi_0)$ （在李雅普诺夫意义下）是 渐近稳定 的。若 $G = \mathbb{R}^n$，且渐近稳定定义中 $\delta_0$ 可取 $+\infty$，则称解 $x = \varphi(t, \tau, \xi_0)$ 是 全局渐近稳定 的。

讨论 $$ \frac{dx}{dt} = A(t)x, \space (1.3) $$ 零解的稳定性

定理 1.1¶

设 $\Phi(t)$ 是方程组 $(1.3)$ 的基本解矩阵，则方程组的零解 1. 是稳定的，当且仅当 $\Phi(t)$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上有界。 2. 是渐近稳定的，当且仅当 $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}\Phi(t) = 0$

定理 1.2¶

当 $A(t)$ 是常矩阵 $A$ 时，方程组 $(1.3)$ 的零解 1. 是渐近稳定的（也是全局渐近稳定），当且仅当 $A$ 的全部特征值都有负实部。 2. 是稳定的，当且仅当 $A$ 的全部特征值的实部是非正的，并且实部为零的特征值对应的若尔当小块都是一阶的。 3. 是不稳定的，当且仅当 $A$ 的特征值中至少有一个实部为正，或者至少有一个实部为零，而它所对应的若尔当小块是高于一阶的。

方程 $$ \frac{dx}{dt} = A(t)x + R(t, x), \space (1.2) $$ ，$A(t)$ 在区间 $[\tau, +\infty)$ 上连续，$R(t,x)$ 于 $\Omega = \{(t, x) | t \in [\tau, +\infty), |x| < H\}$ 上连续，局部地满足利氏条件，$R(t, 0) = 0$，且对 $t \in [\tau, +\infty)$ 一致地有 $$ \lim\limits_{|x| \rightarrow 0} \frac{R(t,x)}{|x|} = 0 $$

定理 1.3¶

设 $A(t)$ 是常矩阵 $A$， 1. 若 $A$ 的全部特征值都有负实部，则方程组 $(1.2)$ 的零解是渐近稳定的。 2. 若 $A$ 的特征值中至少有一个具有正实部，则方程组 $(1.2)$ 的零解是不稳定的。

李雅普诺夫第二方法¶

考虑 自治方程组（注定系统） 零解的稳定性 $$ \frac{dx}{dt} = f(x) $$ 李雅普诺夫函数 $V(x)$ ，

\[ \frac{dV}{dt}_{(E)_a} = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{\partial V(x)}{\partial x_i}f_i(x) \]

称为 $V(x)$ 沿着方程组 $(E)_a$ 的方向导数。

$V(x)$ 是零点附近的定正函数

方向导数是常负函数，零解稳定
方向导数是定负函数，零解渐近稳定
方向导数是定正函数，零解不稳定
注意，取不同的李雅普诺夫函数 $V(x)$，得到的结果可能不一样，即可能得到稳定也可能得到渐近稳定。但是稳定和不稳定一定是对立的，即不可能有两个不同的李雅普诺夫函数分别得到稳定和不稳定的结果。

一般定性理论的概念¶

考虑自治方程组 $$ \frac{dx}{dt} = f(x) $$ ，假设 $f(x)$ 于 $\mathbb{R}^n$ 连续可微。

称 $x$ 取值的空间为 相空间
方程组过点 $(\tau, \xi) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ 的解曲线 $x = \varphi(t, \tau, \xi)$ 是通过相空间中点 $\xi$ 的与 速度场 相吻合的一条光滑曲线，称为轨线
方程组所有轨线构成相图
$f(x_0) = 0$，则 $x = x_0$ 是方程组的一个定常解（与时间 $t$ 无关），速度向量是零向量，方向无法确定。称 $x_0$ 为奇点
若存在正数 $\omega$，使得 $\varphi(\omega, \xi) = \xi$，则有 $$ \varphi(t + \omega, \xi) = \varphi(t, \xi), \qquad t\in \mathbb{R} $$ 称 $x = \varphi(t, \xi)$ 是方程组的一个 $\omega$ - 周期解，不是定常解的周期解所对应的轨线称之为闭轨
闭轨的稳定性 类似李雅普诺夫稳定性，但是和李雅普诺夫稳定性不同，主要体现在 $\xi$ 的选取范围上

平面动力系统¶

考虑平面动力系统 $$ \frac{dx}{dt} = X(x,y), \space \frac{dy}{dt} = Y(x, y), \qquad (3.1) $$ 其中 $X(x,y)$ 和 $Y(x,y)$ 于 $\mathbb{R}^2$ 连续可微。

平面动力系统的奇点¶

设 $p = tr A, q = det A$，分类原点作为奇点时的类型

当 $p^2 = 4q$ 时，有两个相同实特征值，如果可对角化（Jordan 块是一阶的），星形节点；如果不可对角化（Jordan 块是二阶的），单向结点
判断是否是单向结点很简单，随便取一条过原点的直线，如果它不给出特殊方向，那就一定是单向结点
设 $k$ 解出单向结点特殊方向
再随便取几个特殊点逼近一下
星形结点只需要判断方向即可，很好画
当 $p^2 > 4q > 0$ 时，有两个同号的实特征值，双向节点
作图时要考虑两条特殊方向，以及其他轨线与哪条特殊方向代表的直线相切
特殊方向直接设 $k$ 解方程
相切情况看两条特殊直线中间直线上方向向量
当 $q < 0$ 时，有两个异号的实特征值，鞍点
作图时也要考虑两条特殊方向，求法同双向结点，其他轨线靠近哪条特殊直线时方向就和它靠近的特殊直线方向相同
当 $0 < p^2 < 4q$ 时，有两个共轭复特征值，为焦点
当 $q > 0, p = 0$ 时，有两个纯虚数特征值，为中心点

此外，在情形 1，2，4 中，奇点 $(0, 0)$ 的稳定性由 $p$ 的符号决定：当 $p < 0$ 时稳定，当 $p > 0$ 时不稳定（因为 $p$ 反应了特征值的实部，矩阵的迹就是所有特征值的和）

平面动力系统的极限环¶

极限环：孤立闭轨，存在闭轨的一个邻域，在这个邻域内系统无其他闭轨。

庞加莱-本迪克松定理¶

设 $D$ 是由两条简单闭曲线 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 所围成的环域，且在 $\overline D = \Gamma_1 \cup D \cup \Gamma_2$ 上，系统

无奇点。如果从 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 上出发的轨线都不离开（或都不进入）$\overline D$，而 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 都不是系统 (3.1) 的闭轨，则系统在 $D$ 内至少有一条闭轨 $\Gamma$

解题方法论 ~~（背马原背上头了）~~ ：验证内部无奇点，分析边界速度场。

本迪克松准则¶

设 $X(x,y), Y(x,y)$ 在单连通区域 $D$ 上连续可微，若散度 $$ div(X,Y) = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} $$ 在 $D$ 的任何子区域中不恒为零，且在 $D$ 中保持定号，则方程组 (3.1) 在 $D$ 中无闭轨。