第二章分离变量法

第二章课件：分离变量法

第二章内容总览

如果说第一章回答的是“方程从哪里来”，那么这一章回答的就是“定解问题到底怎么解”。课件把思路分成四块：

齐次方程的分离变量法
非齐次振动方程与输运方程
非齐次边界条件的处理
泊松方程的求解思路

整章的核心理念只有一句话：把 PDE 拆成若干个 ODE，再把这些 ODE 的解按正交基叠加回来。这就是分离变量法、Fourier 级数法以及后面特殊函数理论的共同起点。

1 分离变量法的基本思想¶

1.1 为什么要“分离”¶

考虑两端固定弦的齐次波动问题

\[ u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0, \qquad 0 < x < l, \ t > 0, \]

配以边界条件

\[ u(0,t) = 0, \qquad u(l,t) = 0 \]

和初始条件

\[ u(x,0) = \varphi(x), \qquad u_t(x,0) = \psi(x). \]

课件从驻波形式出发，设

\[ u(x,t) = X(x)T(t). \]

这种假设的含义是：空间形状与时间变化可以拆开，一个负责“模态形状”，一个负责“模态振荡”。

齐次边界条件下的分离变量设置

将 \(u = XT\) 代入波动方程，得

\[ XT'' - a^2 X''T = 0. \]

两边除以 \(a^2XT\)，得到

\[ \frac{T''}{a^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda. \]

于是原 PDE 被拆成两个 ODE：

\[ X'' + \lambda X = 0, \]

\[ T'' + a^2 \lambda T = 0. \]

同时边界条件变为

\[ X(0) = 0, \qquad X(l) = 0. \]

1.2 特征值问题为什么会出现¶

一旦做出分离假设，空间部分不再是普通初值问题，而变成了 边值问题

\[ X'' + \lambda X = 0, \qquad X(0)=X(l)=0. \]

这就是课件里反复强调的 本征值问题 / 特征值问题。只有某些特殊的 \(\lambda\)，它才有非零解。

分析三种情况：

\(\lambda < 0\)
\(\lambda = 0\)
\(\lambda > 0\)

前两种情形只能得到零解，只有 \(\lambda > 0\) 时存在非平凡解。于是可得

\[ \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{l}\right)^2, \qquad n=1,2,\ldots \]

以及对应特征函数

\[ X_n(x) = \sin \frac{n\pi x}{l}. \]

时间部分对应为

\[ T_n(t) = A_n \cos \frac{an\pi t}{l} + B_n \sin \frac{an\pi t}{l}. \]

因此单个模态解写成

\[ u_n(x,t) = \left( A_n \cos \frac{an\pi t}{l} + B_n \sin \frac{an\pi t}{l} \right) \sin \frac{n\pi x}{l}. \]

分离变量法的关键结论

在齐次边界条件下，空间部分给出一个正交特征函数系，时间部分则给出每个模态随时间的振荡或衰减规律。原问题的解通常是这些模态的线性叠加。

1.3 叠加原理与 Fourier 系数¶

由于波动方程与边界条件都是线性的，所以总解可以写成

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n \cos \frac{an\pi t}{l} + B_n \sin \frac{an\pi t}{l} \right) \sin \frac{n\pi x}{l}. \]

初始条件决定系数：

\[ \varphi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin \frac{n\pi x}{l}, \]

\[ \psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{an\pi}{l} B_n \sin \frac{n\pi x}{l}. \]

因此

\[ A_n = \frac{2}{l}\int_0^l \varphi(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x, \]

\[ B_n = \frac{2}{an\pi}\int_0^l \psi(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x. \]

这正是 Fourier 正弦级数在 PDE 中的典型用法。

2 齐次边界条件下的标准套路¶

2.1 波动方程¶

对两端固定的弦，分离变量后得到的是驻波模态。每一阶模态都像一个独立振子：

空间形状固定为 \(\sin \dfrac{n\pi x}{l}\)
时间上按频率 \(\dfrac{an\pi}{l}\) 做简谐振动

因此总解就是无穷多个驻波的叠加。

为什么边界条件要求齐次

若边界条件形如 \(u(0,t)=0,\ u(l,t)=0\)，则代入 \(u=XT\) 后会直接变成 \(X(0)=X(l)=0\)，从而得到纯空间的特征值问题。

如果边界条件本身依赖于时间且不为零，空间和时间就无法直接分离，这也是本章后半部分要专门做“齐次化”的原因。

2.2 热方程¶

对于齐次热方程

\[ u_t - a^2 u_{xx} = 0, \]

配相同的齐次边界条件，设 \(u=XT\)，可得

\[ X'' + \lambda X = 0, \qquad T' + a^2 \lambda T = 0. \]

空间特征函数仍然是

\[ X_n(x) = \sin \frac{n\pi x}{l}, \]

但时间部分不再振荡，而是指数衰减：

\[ T_n(t) = C_n e^{-a^2 \left(\frac{n\pi}{l}\right)^2 t}. \]

所以

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n e^{-a^2 \left(\frac{n\pi}{l}\right)^2 t} \sin \frac{n\pi x}{l}. \]

这体现了热方程的耗散性：高频模态衰减得更快，温度分布会越来越平滑。

2.3 拉普拉斯方程¶

对于矩形区域上的拉普拉斯方程

\[ u_{xx} + u_{yy} = 0, \]

设 \(u(x,y)=X(x)Y(y)\)，可得

\[ \frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = -\lambda. \]

于是通常得到一边是三角函数，另一边是双曲函数。再根据边界条件选择正弦、余弦、\(\sinh\)、\(\cosh\) 的组合。

同一个方法，不同的时间行为

波动方程：时间模态是正弦余弦
热方程：时间模态是指数衰减
拉普拉斯方程：没有时间变量，空间上两方向分别承担振荡与增长 / 衰减

3 非齐次振动方程与输运方程¶

3.1 非齐次振动方程的 Fourier 级数法¶

课件第 2.2 节考虑的是边界仍然齐次，但方程右端有外力：

\[ u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t), \qquad u(0,t)=u(l,t)=0. \]

非齐次振动方程的 Fourier 级数法

虽然外力项让 \(u=XT\) 的“单模态分离”不再直接成立，但仍可以用特征函数展开：

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} T_n(t)\sin \frac{n\pi x}{l}, \]

同时将外力也展开成

\[ f(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(t)\sin \frac{n\pi x}{l}, \]

其中

\[ f_n(t) = \frac{2}{l}\int_0^l f(x,t)\sin \frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x. \]

代入后，每个模态满足一个受迫 ODE：

\[ T_n''(t) + a^2 \left(\frac{n\pi}{l}\right)^2 T_n(t) = f_n(t). \]

这样，原来的 PDE 被拆成了一组彼此独立的二阶常微分方程。

3.2 模态方程的求解¶

这组 ODE 的通解由两部分组成：

齐次解：来自系统固有振动
特解：来自外力驱动

因此可以写成

\[ T_n(t) = A_n \cos \omega_n t + B_n \sin \omega_n t + T_n^{(p)}(t), \qquad \omega_n = \frac{an\pi}{l}. \]

如果使用常数变易法或 Duhamel 思想，则特解可写成卷积形式：

\[ T_n^{(p)}(t) = \frac{1}{\omega_n} \int_0^t f_n(\tau)\sin \bigl[\omega_n (t-\tau)\bigr] \,\mathrm{d}\tau. \]

所以完整解的结构就是：

\[ u = \text{自由振动} + \text{受迫响应}. \]

3.3 输运方程¶

课件同一节还讨论了输运方程。其典型形式为

\[ u_t + c u_x = f(x,t). \]

它和波动 / 热方程不同，是一阶 PDE，通常不靠特征值展开，而是沿特征线

\[ x - ct = \text{常数} \]

来求解。

当初始条件为 \(u(x,0)=\varphi(x)\) 时，齐次方程

\[ u_t + c u_x = 0 \]

的解为

\[ u(x,t) = \varphi(x-ct), \]

即初始形状以速度 \(c\) 整体平移。若有源项，则可写成

\[ u(x,t) = \varphi(x-ct) + \int_0^t f\bigl(x-c(t-\tau), \tau\bigr)\,\mathrm{d}\tau. \]

输运方程最值得记住的直觉

它不“扩散”、也不“反射”，而是把初始信息沿特征线直接搬运出去，因此最核心的概念是 特征线 与 平移传播。

4 非齐次边界条件的处理¶

4.1 为什么先要齐次化¶

当边界条件是

\[ u(0,t)=\mu(t), \qquad u(l,t)=\nu(t), \]

时，若直接设 \(u=XT\)，边界条件会把 \(x\) 和 \(t\) 混在一起，无法得到单纯的空间特征值问题。

因此课件的标准做法是：

先构造一个辅助函数 \(w(x,t)\)，使它单独满足原边界条件。
再令

\[ u(x,t) = v(x,t) + w(x,t), \]

使新的未知函数 \(v\) 满足齐次边界条件。

非齐次边界条件的齐次化

4.2 辅助函数的选取¶

课件选择最简单的线性函数

\[ w(x,t) = A(t)x + B(t), \]

并由

\[ w(0,t)=\mu(t), \qquad w(l,t)=\nu(t) \]

解出

\[ B(t)=\mu(t), \qquad A(t)=\frac{\nu(t)-\mu(t)}{l}. \]

因此一个常用选择是

\[ w(x,t) = \mu(t) + \frac{x}{l}\bigl[\nu(t)-\mu(t)\bigr]. \]

这样定义后，\(v=u-w\) 自动满足

\[ v(0,t)=0, \qquad v(l,t)=0. \]

4.3 齐次化后的新问题¶

将 \(u=v+w\) 代回原 PDE 后，\(v\) 会满足一个新的非齐次方程，但边界已经齐次，因此又回到了上一节可以处理的框架：

空间上用特征函数展开
时间上解一组模态 ODE

这说明“齐次化边界”不是目的，而是为了重新获得 正交特征函数展开 的资格。

5 泊松方程的处理思路¶

5.1 基本想法：先找特解，再解齐次部分¶

课件第 2.4 节讨论泊松方程：

\[ \Delta u = f(x,y) \]

的边值问题。它的思路和常微分方程完全一致：

先找一个特解 \(v\)，使 \(\Delta v = f\)
再令

\[ u = v + w, \]

则 \(w\) 满足拉普拉斯方程

\[ \Delta w = 0 \]

以及修正后的边界条件

\[ w|_{\partial\Omega} = g - v|_{\partial\Omega}. \]

这样，泊松方程就被转化成一个更熟悉的拉普拉斯边值问题。

泊松方程的“特解 + 调和解”处理框架

5.2 课件中的两个典型区域¶

课件给出了两种常见区域：

圆域：利用极坐标和对称性，先猜测合适的多项式型特解，再把剩余问题化成拉普拉斯方程
矩形域：同样先构造特解，再用分离变量法求解拉普拉斯方程部分

其共同结构都是：

\[ u = \text{一个方便验证的特解} + \text{满足齐次方程的校正项}. \]

5.3 为什么泊松方程常和分离变量法一起讲¶

因为真正难的不是“写出 \(\Delta u = f\)”，而是：

源项怎样被吸收进特解
边界怎样被保留下来
剩余的拉普拉斯方程如何用正交展开解决

所以泊松方程这一节，本质上是在训练一种非常重要的分解思想：

\[ \text{非齐次问题} \longrightarrow \text{特解} + \text{齐次问题}. \]

6 本章方法论总结¶

6.1 一套通用流程¶

课件整章其实反复在做同一件事，可以概括成下面的流程：

先检查边界是否齐次。
若齐次，则优先尝试分离变量。
由空间边值问题得到特征值和特征函数。
利用正交性展开初始条件或外力项。
对每个模态分别求解 ODE。
若方程或边界非齐次，则先做“特解分解”或“边界齐次化”。

6.2 这一章真正想建立的能力¶

不是死记某一个公式，而是形成下面三种判断：

什么时候可以直接分离
什么时候要先做齐次化
什么时候要先找特解再展开

复习与考试重点

齐次边界 + 线性 PDE 是分离变量法最自然的适用场景。
分离变量后，空间部分产生 特征值问题，特征函数构成正交基。
波动方程的时间模态是正弦 / 余弦，热方程的时间模态是指数衰减。
非齐次振动方程可先对外力做 Fourier 展开，把 PDE 化成模态 ODE。
非齐次边界条件的核心技巧是构造辅助函数 \(w\)，把边界齐次化。
泊松方程通常先找特解，再把剩余部分转化成拉普拉斯方程处理。

和第三章的衔接

在区间、矩形这类直角坐标区域里，特征函数往往是正弦、余弦、双曲函数；但一旦区域变成圆域或球域，分离后出现的 ODE 就不再是初等函数，而会引出下一章的 贝塞尔函数 与 勒让德多项式。