第五章 基本解和解的积分表达式
第五章课件：基本解和解的积分表达式
回顾前面学过的方法：
- 行波法 ：只能处理无界空间的波动问题，有局限性。
- 分离变量法 ：适用于有界区域的各种定解问题，但解是无穷级数形式，且对非齐次问题处理较繁琐。
这一章引入 Green 函数法 ，它的核心优势在于：
- 直接求特解 ，无需先解齐次问题再叠加；
- 适用于 各种区域 （有界、无界、半空间等）；
- 将定解问题的解表示为含有 Green 函数的 有限积分 ，物理意义清晰。
1 Green 公式
1.1 第一 Green 公式与第二 Green 公式
设区域 \(T\) 的边界为 \(\Sigma\)，函数 \(u(\boldsymbol{r})\) 和 \(v(\boldsymbol{r})\) 在 \(T\) 上具有连续二阶偏导数，在 \(\Sigma\) 上具有连续一阶偏导数。由 Gauss 散度定理：
\[
\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \iiint_{T} \nabla \cdot \boldsymbol{A} \, \mathrm{d}V,
\]
令 \(\boldsymbol{A} = u \nabla v\)，利用 \(\nabla(u v) = u \nabla v + v \nabla u\)，得
\[
\iint_{\Sigma} u \frac{\partial v}{\partial n} \, \mathrm{d}S = \iiint_{T} u \Delta v \, \mathrm{d}V + \iiint_{T} \nabla u \cdot \nabla v \, \mathrm{d}V. \tag{5.1.1}
\]
这就是 第一 Green 公式 。同理，交换 \(u\) 和 \(v\) 的位置，得
\[
\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \, \mathrm{d}S = \iiint_{T} v \Delta u \, \mathrm{d}V + \iiint_{T} \nabla u \cdot \nabla v \, \mathrm{d}V. \tag{5.1.2}
\]
两式相减，得到 第二 Green 公式 ：
\[
\boxed{
\iint_{\Sigma} \left(u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d}S = \iiint_{T} \big(u \Delta v - v \Delta u\big) \, \mathrm{d}V
} \tag{5.1.3}
\]
其中 \(\dfrac{\partial}{\partial n}\) 表示沿边界 \(\Sigma\) 外法向 的偏导数。
第二 Green 公式是这一章全部推导的基石。它建立了 体积分 （区域内的源与场的关系）与 面积分 （边界上的场与通量的关系）之间的联系。
2 泊松方程的 Green 函数法
2.1 泊松方程的定解问题
考虑 Poisson 方程的边值问题：
\[
\begin{cases}
\Delta u(\boldsymbol{r}) = -f(\boldsymbol{r}), & \boldsymbol{r} \in T, \\[6pt]
\displaystyle\left[\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n}\right]_{\Sigma} = \varphi(\boldsymbol{r}_{\Sigma}),
\end{cases} \tag{5.2.1}
\]
其中 \(\alpha, \beta\) 不同时为零。当：
- \(\beta = 0\) 时，为 第一类边值问题 （Dirichlet）；
- \(\alpha = 0\) 时，为 第二类边值问题 （Neumann）；
- \(\alpha, \beta \neq 0\) 时，为 第三类边值问题 （Robin）。
2.2 Green 函数的引入与物理意义
为了求解上述定解问题，引入一个与之对应的 Green 函数 \(G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0)\)，它满足
\[
\begin{cases}
\Delta G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) = -\delta(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0), & \boldsymbol{r} \in T, \\[6pt]
\displaystyle\left[\alpha G + \beta \frac{\partial G}{\partial n}\right]_{\Sigma} = 0.
\end{cases} \tag{5.2.2}
\]
Green 函数的物理意义
Green 函数 \(G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0)\) 表示：在区域 \(T\) 内 \(\boldsymbol{r}_0\) 处放置一个 单位点源 （如单位点电荷），而在边界 \(\Sigma\) 上维持 齐次边界条件 （如接地，电势为零），此时在点 \(\boldsymbol{r}\) 处产生的场的分布。
因此，Green 函数又被称为 点源影响函数 。知道了点源的场，就可以通过 叠加原理 计算出任意分布源所产生的场。
在静电学中，这对应于：在接地导体内部某点放置单位点电荷，求导体内各点的电势分布。
2.3 Green 函数的互易定理
Green 函数具有 对称性 （互易性）：
\[
\boxed{G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) = G(\boldsymbol{r}_0, \boldsymbol{r})} \tag{5.2.3}
\]
这表示：在 \(\boldsymbol{r}_0\) 处的点源在 \(\boldsymbol{r}\) 处产生的影响，等于在 \(\boldsymbol{r}\) 处的点源在 \(\boldsymbol{r}_0\) 处产生的影响。物理上，这体现了线性系统的互易原理。
2.4 基本积分公式
在第二 Green 公式 (5.1.3) 中取 \(v = G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0)\)，并利用 \(\Delta G = -\delta(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0)\) 和 \(\delta\) 函数的筛选性质
\[
\iiint_{T} u(\boldsymbol{r}) \, \delta(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}V = u(\boldsymbol{r}_0),
\]
得到 Poisson 方程的基本积分公式 ：
\[
\boxed{
u(\boldsymbol{r}_0) = \iiint_{T} G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, f(\boldsymbol{r}) \, \mathrm{d}V + \iint_{\Sigma} \left[G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \frac{\partial u(\boldsymbol{r})}{\partial n} - u(\boldsymbol{r}) \frac{\partial G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0)}{\partial n}\right] \mathrm{d}S
} \tag{5.2.4}
\]
利用 Green 函数的互易性 \(G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) = G(\boldsymbol{r}_0, \boldsymbol{r})\)，也可写成
\[
u(\boldsymbol{r}) = \iiint_{T} G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, f(\boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}V_0 + \iint_{\Sigma} \left[G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \frac{\partial u(\boldsymbol{r}_0)}{\partial n_0} - u(\boldsymbol{r}_0) \frac{\partial G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0)}{\partial n_0}\right] \mathrm{d}S_0. \tag{5.2.5}
\]
这个公式将解 \(u\) 表示为两部分之和：
- 体积分 ：区域内分布源 \(f\) 产生的贡献；
- 面积分 ：边界上的场值和法向导数产生的贡献。
2.5 三类边值问题的解
根据 Green 函数满足的齐次边界条件，可以分别化简上述积分公式。
第一类边值问题（Dirichlet）
定解问题：
\[
\begin{cases}
\Delta u = -f(\boldsymbol{r}), \\[4pt]
u\big|_{\Sigma} = \varphi(\boldsymbol{r}_{\Sigma}).
\end{cases} \tag{5.2.6}
\]
对应的 Green 函数满足：
\[
\begin{cases}
\Delta G = -\delta(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0), \\[4pt]
G\big|_{\Sigma} = 0.
\end{cases} \tag{5.2.7}
\]
由于 \(G|_{\Sigma} = 0\)，积分公式 (5.2.4) 中的面积分项化简，得到 第一类边值问题的解 ：
\[
\boxed{
u(\boldsymbol{r}) = \iiint_{T} G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, f(\boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}V_0 - \iint_{\Sigma} \varphi(\boldsymbol{r}_0) \frac{\partial G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0)}{\partial n_0} \, \mathrm{d}S_0
} \tag{5.2.8}
\]
对于 Laplace 方程（\(f \equiv 0\)），解简化为
\[
u(\boldsymbol{r}) = -\iint_{\Sigma} \varphi(\boldsymbol{r}_0) \frac{\partial G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0)}{\partial n_0} \, \mathrm{d}S_0. \tag{5.2.9}
\]
第二类边值问题（Neumann）
定解问题：
\[
\begin{cases}
\Delta u = -f(\boldsymbol{r}), \\[4pt]
\displaystyle\frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{\Sigma} = \varphi(\boldsymbol{r}_{\Sigma}).
\end{cases} \tag{5.2.10}
\]
对应的 Green 函数满足：
\[
\begin{cases}
\Delta G = -\delta(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0), \\[4pt]
\displaystyle\frac{\partial G}{\partial n}\bigg|_{\Sigma} = 0.
\end{cases} \tag{5.2.11}
\]
由于 \(\dfrac{\partial G}{\partial n}\big|_{\Sigma} = 0\)，面积分项化简，得到 第二类边值问题的解 ：
\[
\boxed{
u(\boldsymbol{r}) = \iiint_{T} G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, f(\boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}V_0 + \iint_{\Sigma} \varphi(\boldsymbol{r}_0) \, G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}S_0
} \tag{5.2.12}
\]
第三类边值问题（Robin）
定解问题：
\[
\begin{cases}
\Delta u = -f(\boldsymbol{r}), \\[4pt]
\displaystyle\left[\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n}\right]_{\Sigma} = \varphi(\boldsymbol{r}_{\Sigma}).
\end{cases} \tag{5.2.13}
\]
对应的 Green 函数满足齐次 Robin 条件：
\[
\left[\alpha G + \beta \frac{\partial G}{\partial n}\right]_{\Sigma} = 0. \tag{5.2.14}
\]
将原边值条件与 Green 函数的边值条件适当组合，消去面积分中的 \(u\) 或 \(\dfrac{\partial u}{\partial n}\)，得到 第三类边值问题的解 ：
\[
\boxed{
u(\boldsymbol{r}) = \iiint_{T} G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, f(\boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}V_0 + \frac{1}{\beta} \iint_{\Sigma} \varphi(\boldsymbol{r}_0) \, G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}S_0
} \tag{5.2.15}
\]
Green 函数法的统一框架
三类边值问题的解都可以统一写成
\[
u(\boldsymbol{r}) = \underbrace{\iiint_{T} G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, f(\boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}V_0}_{\text{体内源的贡献}} + \underbrace{\text{（边界积分项）}}_{\text{边界条件的影响}}
\]
差别只在于边界积分项的具体形式，这由 Green 函数满足的边界条件决定。
3 无界空间的 Green 函数 —— 基本解
对于无界区域，边界 \(\Sigma\) 在无穷远处，面积分项趋于零（假设场在无穷远处足够快地衰减）。此时基本积分公式简化为
\[
u(\boldsymbol{r}) = \iiint_{T} G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) \, f(\boldsymbol{r}_0) \, \mathrm{d}V_0. \tag{5.3.1}
\]
这就是 位势积分公式 。此时 Green 函数满足
\[
\Delta G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) = -\delta(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0), \qquad \boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0 \in \mathbb{R}^3. \tag{5.3.2}
\]
在无界空间中，\(G\) 仅依赖于距离 \(|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0|\)，称为 基本解 。
3.1 三维球对称情形
取 \(\boldsymbol{r}_0 = 0\)，设 \(G = G(r)\)，其中 \(r = |\boldsymbol{r}|\)。对 (5.3.2) 在半径为 \(r\) 的球内积分：
\[
\iiint_{T} \Delta G \, \mathrm{d}V = -\iiint_{T} \delta(\boldsymbol{r}) \, \mathrm{d}V = -1.
\]
左边用 Gauss 定理化为球面积分：
\[
\iiint_{T} \Delta G \, \mathrm{d}V = \iint_{S} \frac{\partial G}{\partial r} \, r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = 4\pi r^2 \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r}.
\]
因此
\[
4\pi r^2 \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} = -1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} = -\frac{1}{4\pi r^2}.
\]
积分得
\[
G(r) = \frac{1}{4\pi r} + C.
\]
由无穷远处 \(G \to 0\)（当 \(r \to \infty\)），得 \(C = 0\)。因此 三维 Laplace 方程的基本解 为
\[
\boxed{G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) = \frac{1}{4\pi |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0|}} \tag{5.3.3}
\]
代入 (5.3.1)，得到三维 Poisson 方程在无界空间中的解：
\[
\boxed{
u(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi} \iiint \frac{f(\boldsymbol{r}_0)}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0|} \, \mathrm{d}V_0
} \tag{5.3.4}
\]
这正是 静电场的电位公式 ：\(f\) 是电荷密度，\(u\) 是电势。
3.2 二维轴对称情形
在二维情形下，用单位长度的圆柱体代替球。类似地，在半径为 \(r\) 的圆内积分，利用 Green 公式：
\[
\iint_{T} \Delta G \, \mathrm{d}S = \oint_{C} \frac{\partial G}{\partial r} \, r \, \mathrm{d}\varphi = 2\pi r \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} = -1.
\]
因此
\[
\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}r} = -\frac{1}{2\pi r} \quad \Rightarrow \quad G(r) = \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{r} + C.
\]
取 \(C = 0\)，得到 二维 Laplace 方程的基本解 ：
\[
\boxed{G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) = \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0|}} \tag{5.3.5}
\]
二维 Poisson 方程在无界空间中的解为
\[
\boxed{
u(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{2\pi} \iint f(\boldsymbol{r}_0) \ln\frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0|} \, \mathrm{d}S_0
} \tag{5.3.6}
\]
二维与三维的区别
- 三维 ：\(G \sim \dfrac{1}{r}\)，随距离衰减
- 二维 ：\(G \sim \ln\dfrac{1}{r}\)，衰减更慢（对数衰减）
这一差异来源于空间维度的不同，在物理上表现为：三维空间中点源的场随距离平方反比衰减（库仑定律），而二维空间中点源的场随距离对数衰减（线电荷的电势）。
4 用电像法确定 Green 函数
Green 函数法的核心难点在于： 如何求出 Green 函数本身 。对于某些具有简单对称性的区域，可以利用 电像法 （镜像法）构造 Green 函数。
电像法的物理思想来自静电学：为了满足边界上的齐次 Dirichlet 条件（电势为零），可以在边界外适当位置放置一个 虚像电荷 ，使真实电荷与虚像电荷在边界上产生的电势相互抵消。
4.1 上半平面的 Green 函数
问题 ：在上半平面 \(y > 0\) 内，求 Laplace 方程第一类边值问题的 Green 函数。
物理模型 ：在 \(M_0(x_0, y_0)\)（\(y_0 > 0\)）处放置一单位正点电荷。为满足边界 \(y = 0\) 上电势为零，在关于边界的对称点 \(M_1(x_0, -y_0)\) 处放置一单位负点电荷。
两电荷在上半平面内任一点 \(M(x,y)\) 产生的电势为
\[
G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) = \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0|} - \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_1|},
\]
即
\[
\boxed{
G(x,y; x_0, y_0) = \frac{1}{4\pi} \ln\frac{(x-x_0)^2 + (y+y_0)^2}{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}
} \tag{5.4.1}
\]
容易验证：
- \(\Delta G = -\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\)（在上半平面内，\(M_1\) 处的像电荷不产生奇点）；
- \(G|_{y=0} = 0\)（在边界上，两项抵消）。
例 1：上半平面的 Laplace 方程第一边值问题
定解问题：
\[
\begin{cases}
u_{xx} + u_{yy} = 0, & (y > 0), \\[6pt]
u\big|_{y=0} = \varphi(x).
\end{cases}
\]
解 ：由公式 (5.2.9)，\(u(\boldsymbol{r}) = -\displaystyle\iint_{\Sigma} \varphi(\boldsymbol{r}_0) \dfrac{\partial G}{\partial n_0} \, \mathrm{d}S_0\)。计算 Green 函数在边界上的法向导数：
边界外法线方向为 \(-y\) 方向，故
\[
\frac{\partial G}{\partial n_0}\bigg|_{y_0=0} = -\frac{\partial G}{\partial y_0}\bigg|_{y_0=0} = -\frac{y}{\pi\big[(x-x_0)^2 + y^2\big]}.
\]
代入得到 上半平面的 Poisson 积分公式 ：
\[
\boxed{
u(x,y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi(x_0)}{(x-x_0)^2 + y^2} \, \mathrm{d}x_0
} \tag{5.4.2}
\]
这与第四章用 Fourier 变换法得到的结果完全一致。
例 2：上半平面的 Poisson 方程第一边值问题
定解问题：
\[
\begin{cases}
u_{xx} + u_{yy} = -f(x,y), & (-\infty < x < +\infty, \ y > 0), \\[6pt]
u\big|_{y=0} = \varphi(x).
\end{cases}
\]
解 ：由公式 (5.2.8)，解由两项组成：
\[
u(x,y) = \int_{-\infty}^{+\infty}\!\int_0^{+\infty} G(x,y; x_0, y_0) \, f(x_0, y_0) \, \mathrm{d}x_0 \mathrm{d}y_0 - \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x_0) \frac{\partial G}{\partial n_0}\bigg|_{y_0=0} \mathrm{d}x_0.
\]
代入 Green 函数 (5.4.1) 及其法向导数，得
\[
\boxed{
\begin{aligned}
u(x,y) =& \ \frac{1}{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\!\int_0^{+\infty} \ln\frac{(x-x_0)^2 + (y+y_0)^2}{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \, f(x_0, y_0) \, \mathrm{d}x_0 \mathrm{d}y_0 \\[6pt]
& + \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi(x_0)}{(x-x_0)^2 + y^2} \, \mathrm{d}x_0
\end{aligned}
}
\]
4.2 上半空间的 Green 函数
问题 ：在上半空间 \(z > 0\) 内，求 Laplace 方程第一类边值问题的 Green 函数。
物理模型 ：在 \(M_0(x_0, y_0, z_0)\)（\(z_0 > 0\)）处放置单位正点电荷，在关于平面 \(z = 0\) 的对称点 \(M_1(x_0, y_0, -z_0)\) 处放置单位负点电荷。
利用三维基本解 \(G = \dfrac{1}{4\pi r}\)，得
\[
\boxed{
\begin{aligned}
G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_0) =& \ \frac{1}{4\pi\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}} \\[6pt]
& - \frac{1}{4\pi\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z+z_0)^2}}
\end{aligned}
} \tag{5.4.3}
\]
计算法向导数 \(\dfrac{\partial G}{\partial n_0}\big|_{z_0=0} = -\dfrac{\partial G}{\partial z_0}\big|_{z_0=0}\)，得
\[
\frac{\partial G}{\partial n_0}\bigg|_{z_0=0} = -\frac{z}{2\pi\big[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + z^2\big]^{3/2}}.
\]
代入 Laplace 方程第一边值问题的解公式，得到 半空间的 Poisson 积分公式 ：
\[
\boxed{
u(x,y,z) = \frac{z}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\!\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi(x_0, y_0)}{\big[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + z^2\big]^{3/2}} \, \mathrm{d}x_0 \mathrm{d}y_0
} \tag{5.4.4}
\]
4.3 圆形区域的 Green 函数
问题 ：在圆 \(\rho \leq a\) 内，求 Laplace 方程第一类边值问题的 Green 函数。
物理模型 ：在圆内任一点 \(M_0(\boldsymbol{\rho}_0)\)（\(|\boldsymbol{\rho}_0| = \rho_0 < a\)）放置单位正线电荷。根据电像法，需在圆外某点 \(M_1\)（位于 \(OM_0\) 的延长线上）放置一适当强度的负线电荷，使得圆周 \(\rho = a\) 上电势为零。
设像电荷的位置为 \(\boldsymbol{b}\)（\(|\boldsymbol{b}| = b > a\)），强度为 \(\lambda\)。两线电荷在圆内任一点 \(P(\boldsymbol{\rho})\) 产生的电势为
\[
u(\boldsymbol{\rho}) = \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{|\boldsymbol{\rho} - \boldsymbol{\rho}_0|} + \frac{\lambda}{2\pi} \ln\frac{1}{|\boldsymbol{\rho} - \boldsymbol{b}|} + C.
\]
由边界条件 \(u|_{\rho=a} = 0\)，即当 \(|\boldsymbol{\rho}| = a\) 时 \(u = 0\)，利用余弦定理：
\[
|\boldsymbol{\rho} - \boldsymbol{\rho}_0|^2 = a^2 + \rho_0^2 - 2a\rho_0 \cos(\theta - \varphi),
\]
\[
|\boldsymbol{\rho} - \boldsymbol{b}|^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta - \varphi).
\]
代入边界条件，要求对任意 \(\theta\) 成立。通过比较系数，解得
\[
\lambda = -1, \qquad b = \frac{a^2}{\rho_0}.
\]
即像电荷位于 \(OM_0\) 延长线上距圆心 \(b = a^2/\rho_0\) 处，强度为 \(-1\)。
因此， 圆内第一类边值问题的 Green 函数 为
\[
\boxed{
G(\boldsymbol{\rho}, \boldsymbol{\rho}_0) = \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{|\boldsymbol{\rho} - \boldsymbol{\rho}_0|} - \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{\big|\boldsymbol{\rho} - \dfrac{a^2}{\rho_0^2}\boldsymbol{\rho}_0\big|}
} \tag{5.4.5}
\]
利用极坐标，可写成
\[
\boxed{
G(\boldsymbol{\rho}, \boldsymbol{\rho}_0) = \frac{1}{4\pi} \ln\frac{\rho^2\rho_0^2 + a^4 - 2\rho\rho_0 a^2 \cos(\theta - \varphi_0)}{a^2\big[\rho^2 + \rho_0^2 - 2\rho\rho_0 \cos(\theta - \varphi_0)\big]}
} \tag{5.4.6}
\]
其中 \(\rho = |\boldsymbol{\rho}|\)，\(\rho_0 = |\boldsymbol{\rho}_0|\)。
例 3：圆内的 Poisson 方程第一边值问题
定解问题：
\[
\begin{cases}
\Delta u = -f(\boldsymbol{\rho}), & (\rho < a), \\[6pt]
u\big|_{\rho=a} = \varphi(\theta).
\end{cases}
\]
解 ：由公式 (5.2.8)，取垂直于圆方向单位长积分，将体积分化为面积分，面积分化为线积分：
\[
u(\boldsymbol{\rho}) = \iint_{S} G(\boldsymbol{\rho}, \boldsymbol{\rho}_0) \, f(\boldsymbol{\rho}_0) \, \mathrm{d}S_0 - \oint_{C} \varphi(\theta_0) \frac{\partial G}{\partial n_0}\bigg|_{\rho_0=a} \, \mathrm{d}l_0.
\]
计算 Green 函数在圆周上的法向导数：
\[
\frac{\partial G}{\partial n_0}\bigg|_{\rho_0=a} = \frac{\partial G}{\partial \rho_0}\bigg|_{\rho_0=a} = -\frac{a^2 - \rho^2}{2\pi a\big[a^2 + \rho^2 - 2a\rho \cos(\theta - \varphi_0)\big]}.
\]
代入得到圆内第一边值问题的解：
\[
\boxed{
\begin{aligned}
u(\rho, \theta) =& \ \frac{1}{4\pi} \int_0^a\!\int_0^{2\pi} \ln\frac{\rho^2\rho_0^2 + a^4 - 2\rho\rho_0 a^2 \cos(\theta - \varphi_0)}{a^2\big[\rho^2 + \rho_0^2 - 2\rho\rho_0 \cos(\theta - \varphi_0)\big]} \, f(\rho_0) \, \rho_0 \, \mathrm{d}\rho_0 \mathrm{d}\varphi_0 \\[6pt]
& + \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{a^2 - \rho^2}{a^2 + \rho^2 - 2a\rho \cos(\theta - \varphi_0)} \, \varphi(\varphi_0) \, \mathrm{d}\varphi_0
\end{aligned}
}
\]
例 4：圆内的 Laplace 方程第一边值问题
当 \(f \equiv 0\) 时，解简化为
\[
\boxed{
u(\rho, \theta) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{a^2 - \rho^2}{a^2 + \rho^2 - 2a\rho \cos(\theta - \varphi_0)} \, \varphi(\varphi_0) \, \mathrm{d}\varphi_0
} \tag{5.4.7}
\]
这就是著名的 Poisson 积分公式 （圆内情形）。核函数
\[
P(\rho, \theta - \varphi_0) = \frac{a^2 - \rho^2}{a^2 + \rho^2 - 2a\rho \cos(\theta - \varphi_0)}
\]
称为 Poisson 核 。它满足：
- \(P > 0\)（对 \(\rho < a\)）；
- \(\displaystyle\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P \, \mathrm{d}\varphi_0 = 1\)；
- 当 \(\rho \to a\) 时，\(P\) 趋于 \(\delta\) 函数。
电像法的适用范围
电像法适用于具有简单对称性的区域：
- 平面边界 （半空间、半平面）：像电荷关于平面对称
- 球面边界 （球内、球外）：像电荷位于反演点，强度需调整
- 圆柱面边界 （圆内、圆外）：像线电荷位于反演点
对于更复杂的边界形状，通常需要借助分离变量法、保角变换或数值方法求 Green 函数。
5 总结
核心公式汇总
第二 Green 公式
\[
\iint_{\Sigma} \left(u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d}S = \iiint_{T} \big(u \Delta v - v \Delta u\big) \, \mathrm{d}V
\]
基本积分公式
\[
u(\boldsymbol{r}) = \iiint_{T} G f \, \mathrm{d}V_0 + \iint_{\Sigma} \left(G \frac{\partial u}{\partial n_0} - u \frac{\partial G}{\partial n_0}\right) \mathrm{d}S_0
\]
基本解
- 三维：\(G = \dfrac{1}{4\pi |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0|}\)
- 二维：\(G = \dfrac{1}{2\pi} \ln\dfrac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0|}\)
Poisson 积分公式
- 上半平面：\(u(x,y) = \dfrac{y}{\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x_0)}{(x-x_0)^2 + y^2} \, \mathrm{d}x_0\)
- 圆内：\(u(\rho,\theta) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_0^{2\pi} \dfrac{a^2 - \rho^2}{a^2 + \rho^2 - 2a\rho\cos(\theta-\varphi_0)} \, \varphi(\varphi_0) \, \mathrm{d}\varphi_0\)
Green 函数法的核心思想
- 将任意源 \(f\) 的响应分解为无数点源的响应之和（叠加原理）。
- Green 函数就是 单位点源 在特定边界条件下的响应。
- 通过 Green 函数的互易性，将问题转化为积分计算。
- 电像法利用对称性，通过虚像电荷构造 Green 函数。
使用 Green 函数法的注意事项
- Green 函数法将求解 PDE 的问题转化为 求 Green 函数 + 计算积分 两个问题。
- Green 函数的求解通常比原问题简单，因为它有齐次边界条件。
- 积分计算有时也很复杂，需要利用对称性、特殊函数或数值方法。
- 对于非线性问题，叠加原理失效，Green 函数法不再适用。