第三章特殊函数

第三章课件：特殊函数

贝塞尔方程从圆域问题中引出

这一章承接第二章的分离变量法，但主题发生了一个关键变化：当区域不再是区间或矩形，而是圆域、球域时，分离后出现的常微分方程往往已经不能用初等函数表示。于是，贝塞尔函数、勒让德函数、勒让德多项式这些“特殊函数”就自然出现了。

可以把这一章理解成一句话：

直角坐标下，常见特征函数是正弦、余弦、双曲函数
极坐标 / 球坐标下，常见特征函数变成了 Bessel / Legendre 系列

因此，特殊函数不是“额外背诵内容”，而是 分离变量法在非直角坐标中的必然产物。

1 预备知识：Gamma 函数¶

1.1 定义与基本性质¶

课件一开始先回顾了 Gamma 函数：

\[ \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t, \qquad x>0. \]

它最重要的性质是递推关系

\[ \Gamma(x+1) = x\Gamma(x). \]

由此立刻得到

\[ \Gamma(n+1) = n!, \qquad n=0,1,2,\ldots \]

以及著名结果

\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}. \]

为什么这里要先讲 Gamma 函数

因为在 Bessel 函数的幂级数表达式中，系数会自然写成 Gamma 函数形式。它相当于把“阶乘”推广到了非整数参数。

1.2 在特殊函数中的角色¶

后面出现的很多系数表达式，例如

\[ \frac{1}{m!\Gamma(m+n+1)}, \]

都不是为了形式好看，而是在统一处理整数阶、非整数阶甚至半整数阶的情形。

2 特殊函数为什么会出现¶

2.1 从分离变量法回看¶

第二章的基本框架是：

\[ u(\text{空间变量}, t) = \text{空间部分} \times \text{时间部分}. \]

当空间区域是矩形时，空间方程常常退化为常系数 ODE，因此解还是初等函数；但在圆域或球域中，坐标变换会引入像

\[ \frac{1}{r}R'(r), \qquad \frac{1}{r^2}\Theta''(\theta) \]

这样的变系数项，于是就导出了新的函数类。

2.2 两个典型来源¶

这一章的两条主线是：

圆域 / 圆膜 / 圆盘问题 导出贝塞尔方程
球坐标问题 导出勒让德方程

这也是课程里最典型的两类几何对称性：

圆对称
球对称

3 贝塞尔方程与贝塞尔函数¶

3.1 贝塞尔方程的引出¶

课件以圆盘上的瞬时温度分布为例。若 \(u(x,y,t)\) 满足二维热方程，并把空间部分改写到极坐标 \((r,\theta)\) 下，再做分离变量

\[ u(r,\theta,t) = R(r)\Theta(\theta)T(t), \]

则径向部分会导出形如

\[ r^2 R'' + rR' + (\lambda r^2 - n^2)R = 0 \]

的方程。经过变量缩放后，它写成标准形式

\[ x^2 y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0. \]

这就是 \(n\) 阶贝塞尔方程。

定义 1（贝塞尔方程）

方程

\[ x^2 y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0 \]

称为 \(n\) 阶贝塞尔方程。

3.2 第一类贝塞尔函数¶

用 Frobenius 级数法求解，可得到在 \(x=0\) 附近有界的一类解，称为 第一类贝塞尔函数 \(J_n(x)\)。其标准幂级数形式是

\[ J_n(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+n+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}. \]

对整数阶 \(n\)，这一定义尤其常用。

课件给出它的重要特点是：

在原点附近通常有界
是圆对称问题中最常出现的径向特征函数
当边界要求有界性时，往往只保留 \(J_n\) 而舍弃另一组奇异解

3.3 第二类贝塞尔函数¶

除了 \(J_n(x)\) 外，贝塞尔方程还有另一组线性无关解，课件称为 第二类贝塞尔函数 或 诺伊曼函数，记作 \(Y_n(x)\)。

因此一般解通常写成

\[ y(x) = C_1 J_n(x) + C_2 Y_n(x). \]

如果问题要求在 \(x=0\) 附近有界，例如圆心处温度或位移不能发散，那么通常要令

\[ C_2 = 0. \]

圆心有界性是筛选解的重要条件

很多圆域边值问题并不是“所有通解都可以”，而是必须满足圆心可有限延拓。这个条件往往会自动排除 \(Y_n(x)\)。

3.4 递推公式¶

贝塞尔函数的递推公式

课件第 3.2 节重点建立不同阶贝塞尔函数之间的联系。最常用的两条递推公式是

\[ J_{n-1}(x) + J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}J_n(x), \]

\[ J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x) = 2J_n'(x). \]

它们非常重要，因为：

可以由低阶函数推出高阶函数
可以把导数表达式改写成邻阶函数
在边值条件计算和级数化简中经常使用

由这两式还可以推出

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[x^n J_n(x)\bigr] = x^n J_{n-1}(x), \]

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[x^{-n} J_n(x)\bigr] = -x^{-n} J_{n+1}(x). \]

3.5 半整数阶与初等函数¶

课件还提到一个很有用的事实：当阶数为半奇数时，贝塞尔函数可以化成初等函数。例如

\[ J_{1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x, \qquad J_{-1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x. \]

这说明球坐标问题中的某些径向解，仍然可能回到比较熟悉的三角函数形式。

3.6 生成函数（Generating Function）¶

生成函数把“所有阶的 \(J_n(x)\)”打包到一个公式里，是推导恒等式、递推关系的高效工具。第一类贝塞尔函数的经典生成函数是

\[ \exp\left(\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} J_n(x)\,t^n. \]

它的含义是：把左边关于 \(t\) 的 Laurent 展开，\(t^n\) 的系数就是 \(J_n(x)\)。

用生成函数快速得到常用性质

负阶关系：令 \(t \mapsto 1/t\)，并比较两边的 \(t^n\) 系数，可得

\[ J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x), \qquad n\in\mathbb{Z}. \]

递推式的一种来源：对生成函数两边分别对 \(t\) 求导（或对 \(x\) 求导），再比较系数，可以系统地产生 \(J_{n-1},J_n,J_{n+1}\) 之间的递推与导数关系。
傅里叶表示的直觉：若取 \(t=e^{\mathrm{i}\theta}\)，则

\[ \exp\!\bigl(\mathrm{i}x\sin\theta\bigr) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} J_n(x)\,e^{\mathrm{i}n\theta}, \]

这说明 \(J_n(x)\) 本质上是某个指数函数的“傅里叶系数”，因此在圆对称问题里天然出现。

推导：由生成函数得到两条递推公式

记

\[ G(t,x)=\exp\left(\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)t^n. \]

对 \(t\) 求导并乘以 \(t\)：

\[ t\frac{\partial G}{\partial t} = \frac{x}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)G. \]

左边用级数表示是

\[ t\frac{\partial}{\partial t}\left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)t^n\right) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}nJ_n(x)t^n, \]

右边展开为

\[ \frac{x}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)t^n = \frac{x}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\bigl(J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)\bigr)t^n. \]

比较 \(t^n\) 的系数，得到

\[ J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n}{x}J_n(x). \]

对 \(x\) 求导：

\[ \frac{\partial G}{\partial x} = \frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)G. \]

左边是

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)t^n\right) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n'(x)t^n, \]

右边是

\[ \frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)t^n = \frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\bigl(J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)\bigr)t^n. \]

比较 \(t^n\) 的系数，得到

\[ J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_n'(x). \]

补充：在一些扩散/稳态问题（例如出现 \(x^2y''+xy'-(x^2+n^2)y=0\)）里会遇到 修正贝塞尔函数 \(I_n(x),K_n(x)\)。其中 \(I_n\) 的生成函数与上式只差一个符号：

\[ \exp\left(\frac{x}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)\right) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} I_n(x)\,t^n. \]

4 勒让德方程的引出¶

4.1 从球坐标分离变量开始¶

勒让德方程的来源：球坐标分离变量

课件第 3.3 节从球坐标中的拉普拉斯方程出发。设

\[ u(r,\theta,\varphi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi), \]

代入球坐标下的方程并分离后，径向部分是欧拉型方程，角向部分会导出勒让德型方程。

在轴对称情形下，角变量通常记作

\[ x = \cos\theta, \]

最终得到标准形式

\[ (1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0. \]

这就是 勒让德方程。

定义 2（勒让德方程）

方程

\[ (1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0 \]

称为勒让德方程。

4.2 连带勒让德方程¶

若不要求轴对称，进一步分离 \(\varphi\) 变量，还会出现 连带勒让德方程。这部分在球谐函数理论中非常重要，不过本章更关注的是基础的勒让德方程及其多项式解。

5 勒让德多项式¶

5.1 为什么要挑出“多项式解”¶

勒让德方程的一般解并不都长得很规整。但当参数取合适整数时，会出现一组在 \([-1,1]\) 上良好的多项式解，这就是 勒让德多项式 \(P_n(x)\)。

课件将归一化条件取为

\[ P_n(1) = 1, \]

这样表达式更整齐，也方便物理应用。

勒让德多项式的构造

5.2 Rodrigues 公式¶

勒让德多项式最重要的显式公式是 Rodrigues 公式：

\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^2-1)^n. \]

由它可以直接算出前几项：

\[ P_0(x)=1, \qquad P_1(x)=x, \qquad P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1), \]

\[ P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x). \]

5.3 递推关系¶

勒让德多项式之间也满足递推关系：

\[ (n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x). \]

这和贝塞尔函数的递推公式非常类似，本质上都在反映“相邻阶之间并不独立”。

5.4 正交性¶

课件在第 3.6 之后专门讨论了正交性。对 \(m \neq n\)，有

\[ \int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x)\,\mathrm{d}x = 0. \]

而当 \(m=n\) 时，

\[ \int_{-1}^1 P_n^2(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{2n+1}. \]

这说明 \(\{P_n(x)\}_{n=0}^{\infty}\) 在区间 \([-1,1]\) 上构成一个正交函数系。

正交性为什么重要

一旦拥有正交性，就能像 Fourier 级数那样把一般函数展开成特殊函数级数。这正是特殊函数能进入 PDE 解法核心位置的根本原因。

6 勒让德多项式的生成函数与展开¶

6.1 生成函数¶

勒让德多项式生成函数的物理背景

课件第 3.6 节从单位球内外静电势问题出发，导出了勒让德多项式的生成函数：

\[ \frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n, \qquad |t|<1. \]

生成函数的意义非常大：

一次性打包了所有 \(P_n(x)\)
便于推出递推关系与系数公式
直接对应球坐标中的势函数展开

6.2 Fourier-Legendre 级数¶

利用正交性，一般函数可以在 \([-1,1]\) 上展开成

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} C_n P_n(x), \]

其中系数为

\[ C_n = \frac{2n+1}{2}\int_{-1}^1 f(x)P_n(x)\,\mathrm{d}x. \]

这称为 Fourier-Legendre 级数。

课件中还给出了把 \(|x|\) 展成勒让德级数的例子，目的是说明：

正交展开不局限于三角函数
特殊函数同样能够承担“基函数”角色

6.3 在物理中的意义¶

当问题具有球对称或轴对称结构时，勒让德多项式就像直角坐标里的正弦余弦一样自然。比如：

静电势展开
引力势展开
球坐标下的 Laplace 方程与 Helmholtz 方程

这些场景中，\(P_n(\cos\theta)\) 几乎是必然出现的。

7 本章的统一视角¶

7.1 特殊函数并不“特殊”¶

从课程逻辑上看，所谓特殊函数，其实只是“某类边值问题的天然特征函数”：

区间问题对应三角函数
圆域问题对应贝塞尔函数
球域问题对应勒让德函数 / 勒让德多项式

因此不应把它们看成割裂的新知识，而应把它们看成 分离变量法的坐标适配版本。

7.2 学习时最该抓住的三件事¶

它们是从哪个 PDE / 坐标系里导出来的。
哪一支解在物理上可接受，例如是否在原点有界。
它们是否构成正交函数系，能否做级数展开。

复习与考试重点

Gamma 函数：记住定义、递推关系 \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)、以及 \(\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}\)。
贝塞尔方程：标准形式是 \(x^2 y'' + xy' + (x^2-n^2)y=0\)，来自圆域或极坐标分离变量。
贝塞尔函数：第一类 \(J_n\) 往往对应原点有界解；第二类 \(Y_n\) 常在原点奇异。
贝塞尔递推：重点记住 \(J_{n-1}+J_{n+1}=\dfrac{2n}{x}J_n\) 与 \(J_{n-1}-J_{n+1}=2J_n'\)。
勒让德方程：标准形式是 \((1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0\)，来自球坐标分离变量。
勒让德多项式：记住 Rodrigues 公式、正交性和生成函数。
Fourier-Legendre 展开：说明特殊函数也能像三角函数一样充当正交基。

整门课中的位置

第一章建立模型、第二章给出求解套路、第三章说明在更复杂几何中会出现新的特征函数族。到这里，数理方程课程的核心主线就完整了：物理建模 -> 定解问题 -> 分离变量 -> 特征函数展开。