第四章 积分变换法
第四章课件：积分变换法
前三章分别用行波法、分离变量法、特殊函数处理了各类定解问题。这一章引入 积分变换法 ，核心思路只有一句话： 把偏微分方程中的一个自变量通过积分变换消掉，将 PDE 化为 ODE，解完后再反演回去 。
积分变换法特别适合以下两类场景：
- 无界或半无界区域 ：分离变量法需要有限区间才能产生离散本征值，而无界区域的本征值是连续的，此时 Fourier 积分（变换）是自然替代。
- 非齐次方程 + 非齐次边界 ：当泛定方程和边界条件都非齐次时，分离变量法需要先齐次化，步骤繁琐；积分变换法按固定程序走即可，常常更直接。
当然，积分变换法也有局限：它要求变换核的积分收敛，因此对待求函数有一定衰减要求；此外，逆变换的计算有时也并不简单。
1 用积分变换求解定解问题的基本步骤
用积分变换法求解定解问题，可以总结为五步：
- 选变换 ：根据自变量的变化范围和定解条件，选择适当的积分变换。
- 自变量在 \((-\infty, +\infty)\) 上变化（如无界域的空间坐标）→ Fourier 变换
-
自变量在 \((0, +\infty)\) 上变化（如时间变量 \(t\)）→ Laplace 变换
-
作变换 ：对方程取积分变换，将含两个自变量的 PDE 化为含参量的 ODE。
-
转条件 ：对定解条件取相应变换，导出 ODE 的定解条件。
-
解 ODE ：求解这个常微分方程，得到变换域上的解。
-
逆变换 ：对所得解取逆变换，得到原定解问题的解。
下面依次展开 Fourier 变换法和 Laplace 变换法。
2 常用积分变换对汇总
在动手算题之前，先把本章高频用到的变换对和性质统一放在这里，后面每一步推导都可以直接查用。
2.1 Fourier 变换对
定义
设函数 \(u(x)\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上满足一定衰减条件，则其 Fourier 变换和逆变换定义为：
\[
\hat{u}(\omega) = \mathcal{F}[u(x)] = \int_{-\infty}^{+\infty} u(x) \, e^{-\mathrm{i}\omega x} \, \mathrm{d}x,
\]
\[
u(x) = \mathcal{F}^{-1}[\hat{u}(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{u}(\omega) \, e^{\mathrm{i}\omega x} \, \mathrm{d}\omega.
\]
基本性质
- 线性性 ：\(\mathcal{F}[\alpha u + \beta v] = \alpha \hat{u} + \beta \hat{v}\)
- 微分性质 ：\(\mathcal{F}[u'(x)] = \mathrm{i}\omega \, \hat{u}(\omega)\)，\(\mathcal{F}[u''(x)] = -\omega^2 \, \hat{u}(\omega)\)
- 平移性质 ：\(\mathcal{F}[u(x-a)] = e^{-\mathrm{i}\omega a} \hat{u}(\omega)\)
- 延迟性质 ：\(\mathcal{F}^{-1}[\hat{u}(\omega) \, e^{\pm \mathrm{i}\omega a}] = u(x \pm a)\)
- 积分定理 ：\(\displaystyle\mathcal{F}^{-1}\!\left[\frac{\hat{u}(\omega)}{\mathrm{i}\omega}\right] = \int_{x_0}^{x} u(\xi) \, \mathrm{d}\xi\)
- 卷积定理 ：\(\mathcal{F}^{-1}[\hat{u}(\omega) \hat{v}(\omega)] = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} u(x-\xi) v(\xi) \, \mathrm{d}\xi\)
常用逆变换
\[
\mathcal{F}^{-1}\!\left[e^{-a^2 \omega^2 t}\right] = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4a^2 t}\right)
\]
\[
\mathcal{F}^{-1}\!\left[e^{-|\omega| y}\right] = \frac{y}{\pi(x^2 + y^2)}
\]
2.2 Laplace 变换对
定义
设函数 \(u(t)\) 在 \(t \geq 0\) 上定义，其 Laplace 变换和逆变换定义为：
\[
U(p) = \mathcal{L}[u(t)] = \int_0^{+\infty} u(t) \, e^{-pt} \, \mathrm{d}t,
\]
\[
u(t) = \mathcal{L}^{-1}[U(p)] = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{\sigma - \mathrm{i}\infty}^{\sigma + \mathrm{i}\infty} U(p) \, e^{pt} \, \mathrm{d}p.
\]
基本性质
- 线性性 ：\(\mathcal{L}[\alpha u + \beta v] = \alpha U + \beta V\)
- 微分性质 ：\(\mathcal{L}[u'(t)] = pU(p) - u(0)\)
- 二阶微分 ：\(\mathcal{L}[u''(t)] = p^2 U(p) - p\,u(0) - u'(0)\)
- 延迟性质 ：\(\mathcal{L}^{-1}[U(p) \, e^{-ps}] = u(t-s) \, H(t-s)\)，其中 \(H(\cdot)\) 为 Heaviside 阶跃函数
- 卷积定理 ：\(\mathcal{L}^{-1}[U(p) V(p)] = \displaystyle\int_0^t u(\tau) v(t-\tau) \, \mathrm{d}\tau\)
常用逆变换
\[
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{\sqrt{p}} \, e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}x}\right] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4a^2 t}\right)
\]
\[
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{p} \, e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}x}\right] = \frac{a}{x\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4a^2 t}\right) \quad (x > 0)
\]
3 Fourier 变换法解数学物理定解问题
3.1 Fourier 变换对
在展开例子之前，先明确本章采用的 Fourier 变换对。设 \(u(x,t)\) 关于空间变量 \(x\) 的 Fourier 变换为
\[
U(\omega, t) = \mathcal{F}[u(x,t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} u(x,t) \, e^{-\mathrm{i}\omega x} \, \mathrm{d}x,
\]
逆变换为
\[
u(x,t) = \mathcal{F}^{-1}[U(\omega,t)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} U(\omega,t) \, e^{\mathrm{i}\omega x} \, \mathrm{d}\omega.
\]
本章默认所涉及的函数及其一阶导数在无穷远处足够快地趋于零，以保证变换存在。
3.2 弦振动问题
例 1：无限长弦的自由振动
考虑如下定解问题：
\[
\begin{cases}
u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0, & (-\infty < x < +\infty, \ t > 0), \\[6pt]
u\big|_{t=0} = \varphi(x), & \\[4pt]
u_t\big|_{t=0} = \psi(x).
\end{cases}
\]
解 ：对空间变量 \(x\) 作 Fourier 变换，记
\[
\mathcal{F}[u(x,t)] = U(\omega,t), \quad \mathcal{F}[\varphi(x)] = \Phi(\omega), \quad \mathcal{F}[\psi(x)] = \Psi(\omega).
\]
利用 Fourier 变换的微分性质 \(\mathcal{F}[u_{xx}] = (\mathrm{i}\omega)^2 U = -\omega^2 U\)，原定解问题化为关于 \(t\) 的常微分方程：
\[
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial^2 U}{\partial t^2} + a^2 \omega^2 U = 0, \\[8pt]
U(\omega, 0) = \Phi(\omega), \\[4pt]
U_t(\omega, 0) = \Psi(\omega).
\end{cases}
\]
这是二阶常系数线性 ODE，其通解为
\[
U(\omega, t) = A(\omega) \, e^{\mathrm{i} a \omega t} + B(\omega) \, e^{-\mathrm{i} a \omega t}.
\]
代入初始条件，解得
\[
A(\omega) = \frac{1}{2}\Phi(\omega) + \frac{1}{2a} \frac{\Psi(\omega)}{\mathrm{i}\omega}, \qquad
B(\omega) = \frac{1}{2}\Phi(\omega) - \frac{1}{2a} \frac{\Psi(\omega)}{\mathrm{i}\omega}.
\]
于是
\[
U(\omega, t) = \Phi(\omega) \cos(a\omega t) + \frac{\Psi(\omega)}{a\omega} \sin(a\omega t).
\]
最后进行逆 Fourier 变换。利用
- 延迟定理 ：\(\mathcal{F}^{-1}[\Phi(\omega) e^{\pm \mathrm{i} a \omega t}] = \varphi(x \pm a t)\)
- 积分定理 ：\(\mathcal{F}^{-1}\!\left[\dfrac{\Psi(\omega)}{\mathrm{i}\omega}\right] = \displaystyle\int_{x_0}^{x} \psi(\xi) \, \mathrm{d}\xi\)
得到
\[
\boxed{
u(x,t) = \frac{1}{2}\big[\varphi(x+at) + \varphi(x-at)\big] + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} \psi(\xi) \, \mathrm{d}\xi
}
\]
这正是 达朗贝尔公式 。用 Fourier 变换法重新得到了行波法的结果，验证了两个方法的等价性。
例 2：无限长弦的强迫振动
考虑非齐次波动方程：
\[
\begin{cases}
u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t), & (-\infty < x < +\infty, \ t > 0), \\[6pt]
u\big|_{t=0} = \varphi(x), \\[4pt]
u_t\big|_{t=0} = \psi(x).
\end{cases}
\]
解 ：同样对 \(x\) 作 Fourier 变换，记 \(\mathcal{F}[f(x,t)] = F(\omega, t)\)。变换后的 ODE 为
\[
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial^2 U}{\partial t^2} + a^2 \omega^2 U = F(\omega, t), \\[8pt]
U(\omega, 0) = \Phi(\omega), \\[4pt]
U_t(\omega, 0) = \Psi(\omega).
\end{cases}
\]
用常数变易法或 Laplace 变换法解此一维非齐次 ODE，得
\[
U(\omega, t) = \Phi(\omega) \cos(a\omega t) + \frac{\Psi(\omega)}{a\omega} \sin(a\omega t) + \int_0^t \frac{F(\omega, \tau)}{a\omega} \sin\big[a\omega(t-\tau)\big] \, \mathrm{d}\tau.
\]
前两项的逆变换已在例 1 中求得。对第三项，利用卷积公式和积分公式：
\[
\mathcal{F}^{-1}\!\left[\frac{\sin[a\omega(t-\tau)]}{a\omega} \, F(\omega,\tau)\right] = \frac{1}{2a} \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\xi, \tau) \, \mathrm{d}\xi.
\]
因此，原定解问题的解为
\[
\boxed{
\begin{aligned}
u(x,t) =& \ \frac{1}{2}\big[\varphi(x+at) + \varphi(x-at)\big] + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} \psi(\xi) \, \mathrm{d}\xi \\[6pt]
& + \frac{1}{2a} \int_0^t \!\! \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\xi, \tau) \, \mathrm{d}\xi \, \mathrm{d}\tau
\end{aligned}
}
\]
与例 1 相比，多出的第三项就是 外力引起的强迫振动响应 。物理上可以理解为：在每一时刻 \(\tau\)，外力 \(f(\cdot, \tau)\) 在区间 \([x-a(t-\tau), \, x+a(t-\tau)]\) 上产生一个扰动，这些扰动按时间叠加即得总响应。
3.3 热传导问题
例 3：无限长细杆的无热源热传导
定解问题为
\[
\begin{cases}
u_t - a^2 u_{xx} = 0, & (-\infty < x < +\infty, \ t > 0), \\[6pt]
u\big|_{t=0} = \varphi(x).
\end{cases}
\]
解 ：对 \(x\) 作 Fourier 变换，得
\[
\begin{cases}
U_t + a^2 \omega^2 U = 0, \\[6pt]
U(\omega, 0) = \Phi(\omega).
\end{cases}
\]
解得 \(U(\omega, t) = \Phi(\omega) \, e^{-a^2 \omega^2 t}\)。进行逆变换：
\[
\nu(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(\omega) \, e^{-a^2 \omega^2 t} \, e^{\mathrm{i}\omega x} \, \mathrm{d}\omega.
\]
将 \(\Phi(\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\xi) \, e^{-\mathrm{i}\omega\xi} \, \mathrm{d}\xi\) 代入并交换积分次序：
\[
u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\xi) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a^2 \omega^2 t} \, e^{\mathrm{i}\omega(x-\xi)} \, \mathrm{d}\omega \right] \mathrm{d}\xi.
\]
引用高斯积分公式
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha^2 \omega^2} e^{\beta \omega} \, \mathrm{d}\omega = \frac{\sqrt{\pi}}{\alpha} \exp\!\left(\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right),
\]
令 \(\alpha = a\sqrt{t}\)，\(\beta = \mathrm{i}(x-\xi)\)，得内层积分
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a^2 \omega^2 t} \, e^{\mathrm{i}\omega(x-\xi)} \, \mathrm{d}\omega = \frac{\sqrt{\pi}}{a\sqrt{t}} \exp\!\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}\right).
\]
因此
\[
\boxed{
u(x,t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\xi) \, \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}\right) \mathrm{d}\xi
}
\]
这就是 热传导方程的基本解 （热核）与初始条件的卷积。函数
\[
G(x,t; \xi) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}\right)
\]
称为 热核 或 高斯核 ，它描述了一个位于 \(\xi\) 处的点热源在时刻 \(t\) 产生的温度分布。
例 4：无限长细杆的有源热传导
定解问题为
\[
\begin{cases}
u_t - a^2 u_{xx} = f(x,t), & (-\infty < x < +\infty, \ t > 0), \\[6pt]
u\big|_{t=0} = \varphi(x).
\end{cases}
\]
解 ：对 \(x\) 作 Fourier 变换，得
\[
\begin{cases}
U_t + a^2 \omega^2 U = F(\omega, t), \\[6pt]
U(\omega, 0) = \Phi(\omega).
\end{cases}
\]
这是一阶线性非齐次 ODE，解为
\[
U(\omega, t) = \Phi(\omega) \, e^{-a^2 \omega^2 t} + \int_0^t F(\omega, \tau) \, e^{-a^2 \omega^2 (t-\tau)} \, \mathrm{d}\tau.
\]
第一项的逆变换已在例 3 中求得。对第二项，利用卷积定理：
已知
\[
\mathcal{F}^{-1}\big[e^{-a^2 \omega^2 t}\big] = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4a^2 t}\right),
\]
因此
\[
\mathcal{F}^{-1}\!\left[\int_0^t F(\omega,\tau) \, e^{-a^2\omega^2(t-\tau)} \, \mathrm{d}\tau\right] = \int_0^t \!\! \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi, \tau) \, \frac{\exp\!\left(-\dfrac{(x-\xi)^2}{4a^2(t-\tau)}\right)}{2a\sqrt{\pi(t-\tau)}} \, \mathrm{d}\xi \, \mathrm{d}\tau.
\]
综上，定解问题的解为
\[
\boxed{
\begin{aligned}
u(x,t) =& \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\xi) \, \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}\right) \mathrm{d}\xi \\[6pt]
& + \int_0^t \!\! \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi, \tau) \, \frac{1}{2a\sqrt{\pi(t-\tau)}} \exp\!\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2(t-\tau)}\right) \mathrm{d}\xi \, \mathrm{d}\tau
\end{aligned}
}
\]
第一项是初始温度分布的扩散，第二项是热源 \(f\) 随时间累积的贡献。
3.4 稳定场问题
例 5：半平面的第一边值问题
考虑上半平面 \(y > 0\) 内的 Laplace 方程第一边值问题：
\[
\begin{cases}
u_{xx} + u_{yy} = 0, & (-\infty < x < +\infty, \ y > 0), \\[6pt]
u(x, 0) = f(x), \\[4pt]
\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} u(x,y) = 0.
\end{cases}
\]
解 ：对 \(x\) 作 Fourier 变换，记 \(U(\omega, y) = \mathcal{F}[u(x,y)]\)，\(F(\omega) = \mathcal{F}[f(x)]\)。定解问题化为
\[
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial^2 U}{\partial y^2} - \omega^2 U = 0, \\[8pt]
U(\omega, 0) = F(\omega), \\[4pt]
\displaystyle\lim_{\omega \to \pm\infty} U(\omega, y) = 0.
\end{cases}
\]
通解为 \(U(\omega, y) = C(\omega) \, e^{|\omega| y} + D(\omega) \, e^{-|\omega| y}\)。由有界性条件 \(U \to 0\)（当 \(\omega \to \pm\infty\)），得 \(C(\omega) = 0\)。再由 \(U(\omega, 0) = F(\omega)\)，得 \(D(\omega) = F(\omega)\)。因此
\[
U(\omega, y) = F(\omega) \, e^{-|\omega| y}.
\]
计算 \(e^{-|\omega| y}\) 的逆 Fourier 变换：
\[
\mathcal{F}^{-1}\big[e^{-|\omega| y}\big] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|\omega| y} \, e^{\mathrm{i}\omega x} \, \mathrm{d}\omega = \frac{y}{\pi(x^2 + y^2)}.
\]
利用卷积定理，得到
\[
\boxed{
u(x,y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(\xi)}{(x-\xi)^2 + y^2} \, \mathrm{d}\xi
}
\]
这就是 上半平面的 Poisson 积分公式 。它表明：上半平面内任意一点的调和函数值，可由边界上的值通过一个以该点为极值的权函数加权平均得到。
例 6：半平面的第二边值问题
若边界条件改为 Neumann 条件：
\[
\begin{cases}
u_{xx} + u_{yy} = 0, & (-\infty < x < +\infty, \ y > 0), \\[6pt]
u_y(x, 0) = f(x), \\[4pt]
\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} u(x,y) = 0.
\end{cases}
\]
解 ：令 \(v(x,y) = u_y(x,y)\)，则 \(v\) 满足第一边值问题
\[
\begin{cases}
v_{xx} + v_{yy} = 0, \\[4pt]
v(x, 0) = f(x), \\[4pt]
v \to 0 \ (x \to \pm\infty).
\end{cases}
\]
由例 5 的结果，
\[
v(x,y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(\xi)}{(x-\xi)^2 + y^2} \, \mathrm{d}\xi.
\]
于是
\[
u(x,y) = \int_{y_0}^{y} v(x, \eta) \, \mathrm{d}\eta = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi) \ln\big[(x-\xi)^2 + y^2\big] \, \mathrm{d}\xi + \varphi(x),
\]
其中 \(\varphi(x)\) 是积分常数（仅依赖于 \(x\)），可由附加条件确定。
4 Laplace 变换解数学物理定解问题
Fourier 变换要求函数定义在 \((-\infty, +\infty)\) 上，因此当处理半无界问题（如 \(x \in (0, +\infty)\)）时，就不能直接对 \(x\) 使用 Fourier 变换了。此时， Laplace 变换 成为自然选择——它适用于定义在 \((0, +\infty)\) 上的函数。
在数理方程中，Laplace 变换通常对 时间变量 \(t\) 实施，因为物理过程总是从 \(t = 0\) 开始发展的。
回顾 Laplace 变换的基本性质：
\[
\mathcal{L}[u(x,t)] = U(x,p) = \int_0^{+\infty} u(x,t) \, e^{-pt} \, \mathrm{d}t,
\]
\[
\mathcal{L}[u_t(x,t)] = p \, U(x,p) - u(x,0), \qquad \mathcal{L}[u_{tt}(x,t)] = p^2 U(x,p) - p\,u(x,0) - u_t(x,0).
\]
4.1 无界区域的问题
例 4.2.1：有源热传导方程
定解问题为
\[
\begin{cases}
u_t - a^2 u_{xx} = f(x,t), & (-\infty < x < +\infty, \ t > 0), \\[6pt]
u\big|_{t=0} = \varphi(x).
\end{cases}
\]
解 ：先对时间 \(t\) 作 Laplace 变换，记
\[
\mathcal{L}[u(x,t)] = U(x,p), \quad \mathcal{L}[f(x,t)] = F(x,p).
\]
利用 Laplace 变换的微分性质，方程变为
\[
p \, U(x,p) - \varphi(x) - a^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = F(x,p),
\]
即
\[
\frac{\mathrm{d}^2 U}{\mathrm{d}x^2} - \frac{p}{a^2} U = -\frac{1}{a^2}\big[\varphi(x) + F(x,p)\big].
\]
这是一个二阶线性非齐次 ODE。利用 Green 函数法或 Fourier 变换法求解（对 \(x\) 作 Fourier 变换），可得
\[
U(x,p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\xi) \, \frac{1}{2a\sqrt{p}} \, e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}|x-\xi|} \, \mathrm{d}\xi + \int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi,p) \, \frac{1}{2a\sqrt{p}} \, e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}|x-\xi|} \, \mathrm{d}\xi.
\]
查阅 Laplace 逆变换表，有
\[
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{\sqrt{p}} \, e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}|x-\xi|}\right] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}\right).
\]
再利用 Laplace 变换的卷积定理
\[
\mathcal{L}^{-1}\big[F(p)G(p)\big] = \int_0^t f(\tau) \, g(t-\tau) \, \mathrm{d}\tau,
\]
最终得到
\[
\boxed{
\begin{aligned}
u(x,t) =& \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\xi) \, \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}\right) \mathrm{d}\xi \\[6pt]
& + \int_0^t \!\! \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi, \tau) \, \frac{1}{2a\sqrt{\pi(t-\tau)}} \exp\!\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2(t-\tau)}\right) \mathrm{d}\xi \, \mathrm{d}\tau
\end{aligned}
}
\]
与 Fourier 变换法得到的结果完全一致，验证了两种方法的等价性。
4.2 半无界区域的问题
例 2：半无限杆的热传导
定解问题为
\[
\begin{cases}
u_t = a^2 u_{xx}, & (0 < x < +\infty, \ t > 0), \\[6pt]
u(x, 0) = 0, \\[4pt]
u_x(0, t) = q(t), \\[4pt]
|u(x,t)| < M.
\end{cases}
\]
解 ：对时间 \(t\) 作 Laplace 变换，得
\[
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2 U}{\mathrm{d}x^2} - \frac{p}{a^2} U = 0, \\[8pt]
U_x(0, p) = Q(p), \\[4pt]
|U(x,p)| < M,
\end{cases}
\]
其中 \(Q(p) = \mathcal{L}[q(t)]\)。通解为
\[
U(x,p) = C(p) \, e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}x} + D(p) \, e^{\frac{\sqrt{p}}{a}x}.
\]
由有界性条件 \(|U| < M\)（当 \(x \to +\infty\)），得 \(D(p) = 0\)。再由 \(U_x(0,p) = Q(p)\)，得
\[
C(p) = -\frac{a}{\sqrt{p}} Q(p).
\]
因此
\[
U(x,p) = -\frac{a}{\sqrt{p}} Q(p) \, e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}x}.
\]
利用 Laplace 逆变换公式
\[
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{\sqrt{p}} \, e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}x}\right] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4a^2 t}\right),
\]
以及卷积定理，得到
\[
\boxed{
u(x,t) = -a \int_0^t q(\tau) \, \frac{1}{\sqrt{\pi(t-\tau)}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4a^2(t-\tau)}\right) \mathrm{d}\tau
}
\]
例 3：无失真条件下的电报方程
电报方程描述的是传输线上的电压或电流变化。在无失真条件下，电报方程可化简为
\[
\begin{cases}
v_{xx} = \dfrac{1}{\alpha^2} v_{tt} + \dfrac{2\beta}{\alpha} v_t + \beta^2 v, & (x > 0, \ t > 0), \\[10pt]
v(x,0) = 0, \quad v_t(x,0) = 0, \\[6pt]
v(0,t) = \varphi(t), \\[4pt]
\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x,t) = 0,
\end{cases}
\]
其中 \(\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)，\(\beta = \sqrt{RG}\)。
解 ：对时间 \(t\) 作 Laplace 变换，记 \(V(x,p) = \mathcal{L}[v(x,t)]\)，\(\Phi(p) = \mathcal{L}[\varphi(t)]\)。方程变为
\[
\frac{\mathrm{d}^2 V}{\mathrm{d}x^2} = \left(\frac{p^2}{\alpha^2} + \frac{2\beta p}{\alpha} + \beta^2\right) V = \left(\frac{p}{\alpha} + \beta\right)^2 V.
\]
通解为
\[
V(x,p) = C(p) \, e^{-(\frac{p}{\alpha}+\beta)x} + D(p) \, e^{(\frac{p}{\alpha}+\beta)x}.
\]
由有界性条件，\(D(p) = 0\)。由 \(V(0,p) = \Phi(p)\)，得 \(C(p) = \Phi(p)\)。因此
\[
V(x,p) = \Phi(p) \, e^{-(\frac{p}{\alpha}+\beta)x} = \Phi(p) \, e^{-\beta x} \, e^{-\frac{p x}{\alpha}}.
\]
利用 Laplace 变换的 延迟定理
\[
\mathcal{L}^{-1}\big[e^{-ps} \Phi(p)\big] = \varphi(t-s) \, H(t-s),
\]
其中 \(H(\cdot)\) 是 Heaviside 阶跃函数，得到
\[
\boxed{
u(x,t) = \begin{cases}
e^{-\beta x} \, \varphi\!\left(t - \dfrac{x}{\alpha}\right), & t \geq \dfrac{x}{\alpha}, \\[8pt]
0, & t < \dfrac{x}{\alpha}.
\end{cases}}
\]
物理意义非常清晰：信号以速度 \(\alpha = 1/\sqrt{LC}\) 沿传输线传播，每传播距离 \(x\)，幅度衰减因子为 \(e^{-\beta x} = e^{-\sqrt{RG}\, x}\)。当 \(t < x/\alpha\) 时，信号尚未到达该点，故电压为零。这就是 无失真传输线 的特征：波形不变，只衰减和延迟。
5 总结
核心公式汇总
Fourier 变换对
\[
U(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(x) \, e^{-\mathrm{i}\omega x} \, \mathrm{d}x, \qquad
u(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} U(\omega) \, e^{\mathrm{i}\omega x} \, \mathrm{d}\omega
\]
Laplace 变换对
\[
U(p) = \int_0^{+\infty} u(t) \, e^{-pt} \, \mathrm{d}t, \qquad
u(t) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{\sigma-\mathrm{i}\infty}^{\sigma+\mathrm{i}\infty} U(p) \, e^{pt} \, \mathrm{d}p
\]
常用逆变换
\[
\mathcal{F}^{-1}\big[e^{-a^2\omega^2 t}\big] = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4a^2 t}\right)
\]
\[
\mathcal{F}^{-1}\big[e^{-|\omega| y}\big] = \frac{y}{\pi(x^2+y^2)}
\]
\[
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{\sqrt{p}} e^{-\frac{\sqrt{p}}{a}x}\right] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \exp\!\left(-\frac{x^2}{4a^2 t}\right)
\]
方法选择指南
- 空间无界 \((-\infty, +\infty)\) + 时间演化 → 对 \(x\) 用 Fourier 变换
- 时间半无界 \((0, +\infty)\) + 空间演化 → 对 \(t\) 用 Laplace 变换
- 全空间热传导/波动 → Fourier 变换通常更直接
- 半空间/边界条件复杂 → Laplace 变换可能更方便
- 有源问题 → 两种变换都能处理，结果形式常常是卷积
注意事项
- Fourier 变换要求函数在无穷远处足够快地衰减，否则变换可能不存在。
- Laplace 变换的收敛域需要特别注意，逆变换通常用查表或留数定理。
- 两种变换法得到的解应当一致，可以作为互相检验的手段。